Über die berührenden Strahlennetze einer Strahlenkongruenz. (Q1477825)

Eine Kongruenz \({\mathfrak x} = x + wp, \,{\mathfrak y} = y + wq, \,{\mathfrak z} = z + wr\) besitzt \( \infty^2 \) Strahlennetze, die sie längs des Strahls \((x_0, y_0, z_0, p_0, q_0, r_0) \) berühren. Diese werden durch die Gleichungen \[ {\mathfrak x} = x_0 + \left( \frac {\partial x}{\partial u} \right)_0 (u - u_0) + \left( \frac {\partial x}{\partial v}\right)_0 (v-v_0) + \frac wN (p_0 + p_1' (u-u_0) + p_2' (v- v_0)) \] \[ \cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot \] dargestellt, in denen \[ p_1' = \left( \frac {\partial p}{\partial u} \right)_0 - p_0 \frac {\sum P \left( \frac {\partial p}{\partial u}\right)_0}{\sum P p_0}, \quad p_2' = \left( \frac {\partial p}{\partial v} \right)_0 - p_0 \frac {\sum P \left( \frac {\partial p}{\partial v}\right)_0}{\sum P p_0}, \] \[ N^2 = \sum [p_0 + p_1' (u - u_0) + p_2' (v-v_0)]^2 \] bedeuten und \( P, Q, R \) die Richtungskosinus der Normalen der Stützfläche \((x, y, z)\) sind. Sind die Brennpunkte des Berührungsstrahls reell, so sind die Leitlinien eines berührenden Netzes zwei Tangenten an der Brennfläche in den Brennpunkten.