Einiges über Kugelkomplexe. (Q1477834)

Aus der Gesamtheit der Kugeln \(\varSigma (x_i' -x_i)^2 - R^2 =0\) wird durch eine Gleichung \( F(x_1, x_2, x_3, R) = 0\) zwischen den Mittelpunktskoordinaten und dem Radius ein Kugelkomplex ausgesondert. Diesem Komplex kann man alle Flächen zuordnen, deren Hauptkugeln der einen Schar im Komplex enthalten sind, und die durch eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung, die \textit{Lie} sche Gleichung \( D_{12}\) des Komplexes (Math. Ann. 5), bestimmt sind. Die Charakteristiken dieser Gleichung sind die Krümmungslinien der Integralflächen. Einen Hauptteil der Arbeit bildet das Studium zweier Komplexe, deren \textit{Lie} sche Differentialgleichungen in Involution sind. Die Bedingung dafür wird zunächst in einer vom Verf. schon 1873 in Lunds Univ. Årsskr. 9 angegebenen Form aufgeschrieben: ist ein Komplex \( F(x_1, x_2, x_3, R) = 0\) gegeben, so ergeben sich die mit ihm durch Involution verknüpften Komplexe \( G(x_1', x_2', x_3', R_1) = 0\) durch eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung; wesentlich schwieriger gestaltet sich der Fall, daß\ eine Gleichung von der Form \( f(x_1, x_2, x_3, R_1, x_1', x_2', x_3', R) = 0\) zwischen den Mittelpunktskoordinaten und Radien der Kugeln beider Komplexe vorgegeben ist. Die Untersuchung knüpft sich an das Studium der Transformation \[ F_1 \equiv (z-z')^2 + (x_1 - x_1')^2 + (x_2 - x_2')^2 + (x_3 - x_3')^2 = 0, \] \[ F_2 \equiv (z-z') - p_1(x_1 - x_1') - p_2(x_2 - x_2') -p_3 (x_3 - x_3') = 0, \] \[ F_3 \equiv (z-z') - p_1'(x_1 - x_1') - p_2'(x_2 - x_2') -p_3' (x_3 - x_3') = 0, \] \[ F_4 = 1 + p_1 p_1' + p_2 p_2' + p_3p_3' = 0, \] \[ F_5 \equiv f(x_1, x_2, x_3, x_1', x_2', x_3', z, z') = 0, \] deren letzte Gleichung aus der vorgegebenen Bedingungsgleichung entsteht, wenn man \(z = iR, z' = iR'\) setzt. Als Anwendung der Theorie werden die \textit{Weingarten} schen Sätze über \(W\)- Flächen erhalten und die \textit{Darboux} sche Umkehrung des \textit{Dupin} schen Satzes über die Koordinatenlinien eines krummlinigen rechtwinkligen Koordinatensystems im Raume. Zum Schluß\ wendet sich die Untersuchung zu den konfokalen Kugelkomplexen zweiten Grades, und es zeigt sich, daß\ zwei beliebige solcher Komplexe, für die die Punktkugeln des Raumes einen der Fundamentalkomplexe bilden, eine Integralschar gemeinsam haben, die einem dreifach orthogonalen Flächensystem angehört.