Vorlesungen über ausgewählte Gegenstände der Geometrie. Zweites Heft. Herausgegeben unter Mitwirkung von \textit{W. Blaschke}: Konforme Abbildung einfach zusammenhängender Bereiche. (Q1477849)

Die einfach zusammenhängenden Bereiche mit endlicher oder unendlich hoher Blätterzahl lassen sich nach einem zuerst von \textit{Koebe} und \textit{Poincaré} 1907 bewiesenen ``Fundamentalsatze'' umkehrbar eindeutig und konform entweder auf eine gewöhnliche Kreisfläche oder auf die einfach punktierte Ebene oder auch die Vollebene abbilden. Die ersten vier Paragraphen der \textit{Study} schen Schrift gelten der Entwicklung dieses Satzes im Anschluß\ an \textit{Koebes} Abhandlungen in den Göttinger Nachrichten 1907 und Math. Ann. 67. Das für endlich vielblättrige Bereiche dabei vorauszusetzende alternierende Verfahren wird nur skizziert. Die Bemühungen \textit{Studys} gelten sodann der Klärung der Frage der Ränderzuordnung bei der konformen Abbildung schlichter Bereiche allgemeinster Begrenzungsart. Die Haupttatsache, welche \textit{Study} unter wesentlicher Benutzung eines merkwürdigen Satzes von \textit{Fatou} herleitet, ist die, daß0 bei der gedachten Abbildung auf die Kreisfläche, die stets in zyklischer Anordnung befindlichen erreichbaren Grenzpunkte ( ``Randpunkte''), eineindeutig auf die Punkte einer Punktmenge auf der Peripherie des Einheitskreises abgebildet werden, welche Punktmenge ihrerseits auf der ganzen Peripherie überall dicht ist. Die hier vorliegenden \textit{Study} schen Originalleistungen berühren sich mit gleichzeitigen Arbeiten von \textit{Carathéodory} und \textit{Osgood,} ferner den beträchtliche Vereinfachungen bringenden Arbeiten von \textit{Koebe} (Gött. Nachr. 1913 und J. für Math. 145, 1915), \textit{Courant, Lindelöf.} Weiter betrachtet \textit{Study} speziell die Abbildung konvexer schlichter Bereiche. Die \textit{Schwarz} sche Abbildungsformel für konvexe Polygone wird ausgedehnt auf allgemeinste konvexe Bereiche, unter Einführung der ``Stützwinkelfunktion'' zur Bildung eines die Abbildung vermittelnden \textit{Stieltjes} schen Integrals. Den Schluß\ bilden Betrachtungen zur Bestimmung des größten, mit dem Konvergenzkreise einer regulären Potenzreihe konzentrischen Kreises, für welche die betreffende Potenzreihe noch eine Abbildung auf ein konvexes Gebiet leistet ( ``Rundungsschranke''), sowie weiter die Behandlung des \textit{Koebe} schen Verzerrungssatzes nebst Beispielen. Das \textit{Study} sche Buch ist anregend geschrieben und verdient um so mehr Beachtung, als wir bisher noch nicht im Besitze befriedigender Lehrbücher der konformen Abbildung sind.