Ränderzuordnung bei konformer Abbildung. (Q1477858)

``Die Frage der Ränderzuordnung bei konformer Abbildung eines schlichten einfach zusammenhängenden Bereichs \( B \) in der \(f\)- Ebene auf die Fläche des Einheitskreises \( E \) einer \(z\)-Ebene ist neuerdings von \textit{Carathéodory} (Math. Ann. 73, 305-320, 323-370) und \textit{Study} ( ``Vorlesungen über Geometrie'' Bd. II, Leipzig, Teubner 1913, insbesondere \(\S\) 5-8) behandelt worden, indem diese Autoren einerseits für den Fall, daß\ die Begrenzung eine \textit{Jordan}sche Kurve ist, eine \textit{Osgood}sche Vermutung bestätigten, daß\ nämlich die konforme Abbildung sich auch noch auf den Rand selbst als stetige Abbildung fortsetzt, andererseits im Falle des schlechthin allgemeinsten Bereiches den Satz bewiesen, daß\ die Menge \( M \) der vom Innern des Bereichs \( B \) her erreichbaren Randpunkte von \( B, \) welche offenbar zyklisch geordnet ist, eineindeutig und dem Anordnungstypus entsprechend auf eine Menge \( M' \) von Peripheriepunkten des Einheitskreises bezogen wird, welch letztere Menge auf der Peripherie überall dicht verteilt ist, sodaß\ kein noch so kleines Peripheriestück von Punkten der Menge \( M' \) frei ist. Durch den letzteren Satz wird dann, wie eine von \textit{Study} und \textit{Carathéodory} gegebene Analyse des Randes zeigt, das Problem der Ränderzuordnung auch für den allgemeinsten Bereich in gewisser Weise vollkommen beherrscht. (Auch diese weitergehenden Sätze von \textit{Study} und \textit{Carathéodory} sind, worauf ich inzwischen aufmerksam geworden bin, wesentlich bereits 1903 durch \textit{Osgood} gefunden worden. Vgl. dessen vorläufige Note im Amer. Math. Soc. Bull. (2) 9, 233-235, 1903: ``On the transformation of the boundary in the case of conformal mapping'' Vgl. ferner \textit{Osgood-Taylor :} ``Conformal transformations on the boundaries of their regions of definition'') \textit{Carathéodory} und \textit{Study} bedienten sich zu dem Zwecke des Nachweises wesentlich eines von \textit{Fatou} gefundenen Satzes über Funktionen \(\varphi(z),\) welche innerhalb des Einheitskreises \(|z| <1\) regulär sind und dem absoluten Betrage nach unterhalb einer endlichen Schranke bleiben. Dieser Satz, welchen \textit{Fatou} aus gewissen, von \textit{Lebesgue} mit seinem eigentümlichen Integralbegriff gewonnenen Ergebnissen folgerte, besagt, auf die Abbildungsfunktion \(f(z)\) angewandt, direkt, daß\ auf der Peripherie des Einheitskreises eine Gesamtheit \(M''\) von überall dicht verteilten Punkten existiert von der Beschaffenheit, daß\ den nach diesen Punkten vom Zentrum hinführenden Radien in \(B\) Linien entsprechen, die je gegen einen bestimmten erreichbaren Randpunkt von \(B\) konvergieren. \textit{Carathéodory} spricht in seinem erstgenannten Aufsatze nun die Meinung aus, daß\ es ohne das \textit{Lebesgue} sche Integral vielleicht (M. A. 307) nicht möglich sein würde, die erwähnten Ergebnisse der Abbildungstheorie zu erhalten. Ich werde jedoch jetzt zeigen, daß\ dies in sehr einfacher Weise möglich ist, sodaß\ die Heranziehung der \textit{Lebesgue} schen Theorie tatsächlich als eine bedeutende Verkomplizierung erscheint. Zu dem Zwecke verallgemeinere ich einen Satz von \textit{Schwarz}. Satz von \textit{Schwarz} : Es sei \(\varphi(z)\) eine analytische Funktion von \(z,\) regulär oberhalb einer gewissen Strecke \(a\) der Achse des Reellen, welche ferner die Eigenschaft hat, daß\ ihre Werte bei Annäherung an die Strecke \(a\) gleichmäßig sich einem konstanten Wert nähern. Alsdann verhält sich die Funktion \(\varphi(z)\) auch noch auf der Strecke \(a\) selbst regulär, und es ist die Funktion \(\varphi(z)\) überhaupt eine Konstante. Erweiterung des \textit{Schwarz} schen Satzes: Die Erweiterung besteht in folgender Modifikation der Voraussetzungen: Es wird nur verlangt, daß\ man in beliebiger Nähe der Strecke \(a\) noch eine längs \(a\) sich hinziehende Linie \(\sigma\) finden kann, auf welcher die Werte der Funktion \(\varphi(z)\) sich von einer festen Konstante beliebig wenig unterscheiden, und daß\ außerdem die Funktion in dem betrachteten Bezirke beschränkt sei. Unter diesen weiteren Voraussetzungen bleibt die Behauptung bestehen.'' Die ausführliche Entwickliang seiner Methode gibt \textit{Koebe} im J. für Math. 145 (1915).