Grundlagen und Ziele der analytischen Kinematik. (Q1477920)

Ein außerordentlich inhaltsreiches Programm, welches Stoff für die mathematische Forschung vieler Jahre enthält. Gegensatz zwischen theoretischer Kinematik, die von der Begrenzung eines starren Körpers vorläufig absieht, und der Maschinenlehre. Grundfigur der Kinematik ist das \textit{Soma,} welches durch ein mit dem starren Körper starr verbundenes Koordinatentrieder repräsentiert werden kann. Objekte der theoretischen Kinematik sind vor allem Figuren, die aus Somen bestehen, und die diskrete Mengen oder Kontinua, namentlich analytische Kontinua von Somen bilden können. Wiewohl das hierin enthaltene Programm noch der Erweiterung bedarf, so läßt sich doch unter diesen Gesichtspunkt schon so ziemlich alles bringen, was die Vertreter der Kinematik bisher beschäftigt hat. Gelenkwerke und Zahnräder, Rollkurven und aufeinander schrotende Regelflächen, die Theorie der Freiheit eines starren Körpers im Infinitesimalen und ihre Verwirklichung durch Mechanismen, das bewegliche Trieder der Kurven- und Flächentheorie, alles kommt unter diesen Gesichtspunkt, und noch vides andere kann ihm untergeordnet werden. Jedes Soma geht durch eine Bewegung oder eine Umlegung aus dem \textit{Protosoma} hervor. Daher läßt sich ein Soma darstellen durch acht homogene Koordinaten, zwischen denen eine quadratische Gleichung und eine Ungleichheit besteht. Der analytische Apparat wird trotzdem äußerst einfach bei Verwendung \textit{Clifford} scher Biquaternionen. Als Objekte der Bewegungen und Umlegungen werden betrachtet: Massenpunkte, Stäbe, d. i. gerade Linien mit Gewichten, und Blätter, d. i. Ebenen mit Gewichten. Hierfür werden die Transformationsformeln angegeben. Für die Maschinenlehre, die es meist mit zwangläufigen Bewegungsvorgängen zu tun hat, ist am wichtigsten der Fall der eindimensionalen Somenmannigfaltigkeit. Man hat es dann nur mit einem Parameter zu tun, der als Maß\ der Zeit gedeutet zu werden pflegt. Es gibt aber noch zwei- bis fünfdimensionale Somenmannigfaltigkeiten. Die einfachsten davon werden ``Somenketten'' genannt. Es werden Ketten beschrieben, die den Punkten, Geraden und Ebenen der gewöhnlichen Geometrie verglichen werden können. Zu jedem Lehrsatz der projektiven komplexen Geometrie gibt es ein kinematisches Seitenstück. Die Kinematik kann auch aufgefaßt werden als eine Erweiterung der nichteuklidischen Geometrie, die damit auch für den euklidischen Raum eine unmittelbare Bedeutung erhält. Die Gesamtheit der Somen läßt sich auf eine \(M_6^2\) abbilden, die in einem \(R_7\) verläuft. Das führt zu einer gemischten 28-gliedrigen Transformationsgruppe. Diese rufen im sphärischen wie im euklidischen Raume Transformationen hervor, welche isometrische Mannigfaltigkeiten in ebensolche verwandeln. -Zu jedem Lehrsatz über die Geometrie auf der \(M_6\) gehören fünf andere (Reziprozitätssatz, dem Dualitätsprinzip vergleichbar). Das \textit{Ribaucour} sche Problem: Wie sind die analytischen Somenmannigfaltigkeiten, in denen zwei konsekutive Somen durch Drehung auseinander hervorgehen, kinematiseh zu erzeugen? wird völlig gelöst und damit die \textit{Ribaucour} sche Lösung als unzureichend dargetan. Kinematik im sphärischen Raum. Besonderheit des dreidimensionalen Raumes.