Zur Kinematik des \textit{Born} schen starren Körpers. (Q1477932)

Man bezeichne mit \(x_0, y_0, z_0, l_0 = it_0 \) die Koordinaten eines bestimmten Punktes des Körpers als Funktionen seiner Eigenzeit \(\tau_0,\) mit \(x, y, z, l = it\) die Koordinaten irgendeines andern Punktes des starren Körpers gleichfalls als Funktionen der Eigenzeit jenes Weltpunktes. Die \textit{Born} sche Definition des starren Körpers läßt sich dann in die Form kleiden: \[ (1) \quad x': y': z': l'=x_0':y_0':z_0':l_0', \] \[ (2) (x-x_0) x' + (y-y_0)y' + (z-z_0)z' + (l+l_0)l_0' = 0, \] wo die Striche Differentiationen nach \( \tau_0\) bezeichnen. Dabei hat \( \tau_0\) als Eigenzeit des Punktes 0 die Bedeutung der Bogenlänge auf der Weltlinie des Punktes 0. Durch diese Einkleidung führen die Verff. die Integration der Gleichungen (1) und (2) auf die Untersuchung von Raumkurven im vierdimensionalen Raum zurück. Indem die \textit{Frenet} schen Formeln für dreidimensionale Raumkurven auf solche von vier Dimensionen verallgemeinert werden, läßt sich die Aufgabe auf die Differentialgleichungen bringen: \[ (9) \qquad \xi' = - \frac \eta\tau, \quad \eta' = -\frac \zeta\sigma + \frac \xi\tau, \quad \zeta' = \frac \eta\sigma, \] wo \(1/\tau\) und \(1/\sigma\) die erste und die zweite Torsion der Raumkurve bezeichnen. Solche Differentialgleichungen hat \textit{Darboux} auf eine \textit{Riccati} sche zurückgeführt, deren allgemeine Lösung aber nicht gelingt. Die Verff. erledigen jedoch die Integration der Gleichungen (9) für den Fall \(1/\sigma = 0,\) d. h. wenn die Weltlinie in einem dreidimensionalen Raum \(lxy\) verläuft, mit andern Worten für den Fall einer ebenen Bewegung des starren Körpers. Als Beispiel wird zuletzt die Bewegung des Mittelpunktes eines Elektrons mit gleichförmiger Geschwindigkeit \({\mathfrak v}_0\) auf einem Kreise behandelt.