Sur une correspondance entre les mouvements de deux systèmes mécaniques holonomes conservatifs. (Q1477986)

Es sei ein System kanonischer Gleichungen gegeben: \[ (1) \quad \frac {dx_i}{dt} = \frac {\partial F}{\partial y_i}, \qquad \frac {dy_i}{dt} = - \frac {\partial F}{\partial x_i} \qquad (i=1, 2, \dots, n), \] wo \( F(x_1, x_2, \dots, x_n; y_1, y_2, \dots, y_n)\) eine gegebene, von \(t\) nicht abhängige Funktion bezeichnet; man kann immer Vertauschungen von Veränderlichen definieren, die dieses System in ein anderes kanonisches System umwandeln: \[ (2) \quad \frac {d\xi_i}{dt} = \frac {\partial \varPhi}{\partial \eta_i}, \quad \frac {d\eta_i}{dt} = \frac {\partial \varPhi}{\partial \xi_i} \quad (i=1, 2, \dots, n ), \] wo \(\varPhi(\xi_1, \xi _2, \dots, \xi _n; \eta_1, \eta _2, \dots, \eta _n)\) ebenfalls eine gegebene, von \(t\) nicht abhängige Funktion ist (vgl. \textit{H. Poincaré,} Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste 3, 7 \textit{u. H. Vergne,} Ann. de l'Éc. Norm. (3) 27, 543-563, 1910 u. C. R. 150, 1038- 1041, 1910; F. d. M. 41, 633 (JFM 41.0633.*) u. 788, 1910). Man kann auch, jedoch unter gewissen Beschränkungen, die Umwandlung des Systems (1) in das System (2) bewerkstelligen mittels eines beliebigen Partikularintegrales \( V(x_1, x_2, \dots, x_n; \xi_1, \xi _2, \dots, \xi _n)\) der partiellen Differentialgkichung: \[ \begin{multlined} F\left( x_1, x_2, \dots, x_n; \frac {\partial V}{\partial x_1}, \frac {\partial V}{\partial x_2}, \dots, \frac {\partial V}{\partial x_n} \right) \\ = \varPhi \left( \xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n; -\frac {\partial V}{\partial \xi_1}, - \frac {\partial V}{\partial \xi_2}, \dots, -\frac {\partial V}{\partial \xi_n}\right).\end{multlined} \] Die Formeln für die Vertauschung der Veränderlichen sind dann \[ y_i=\frac {\partial V}{\partial x_i}, \quad \eta_i = - \frac {\partial V}{\partial \xi_i} \quad (i= 1, 2, \dots, n). \] Diese in der Note der C. R. ausgesprochenen Sätze werden in dem Artikel des Bull. des sc. math. bewiesen; die aus ihnen sich ergebenden Folgerungen werden ebenda weiter entwickelt.