Ricerche geometriche intorno al problema dei tre corpi. (Q1478017)

``Die in bezug auf dieses Problem sich erhebenden Fragen sind vom geometrischen Gesichtspunkte aus sehr zahlreich, und ihrer sind wenige, die ich habe beantworten können; aber die gewonnenen Ergebnisse haben für uns bei dieser Gelegenheit ein besonderes Interesse, weil sie sich gerade an die bekanntesten Untersuchungen von \textit{Lagrange} anschließen. Nehmen wir an, der Schwerpunkt des Systems der drei Körper sei in Ruhe. Für die geometrische Betrachtung bieten sich natürlich drei Arten von Gebilden: die von jedem der drei Körper beschriebenen Kurven; die geradlinigen Flächen, die von den je zwei oder drei Körper verbindenden Geraden beschrieben werden; der von der Ebene der drei Körper eingehüllte Kegel. Aus der Betrachtung dieser drei Arten geometrischer Gebilde entstehen sofort einige grundlegende Aufgaben. Welches sind die Veränderlichen, von denen die wesentlichsten Eigenschaften dieser Kurven, dieser geradlinigen Flächen und dieses Kegels abhängen? Wenn in einem gegebenen Augenblick die drei Geschwindigkeiten in der Ebene der drei Körper liegen, so sind die Bahnen offensichtlich ebene Kurven, und die Regelflächen der Aufgabe fallen mit der gemeinsamen Ebene der drei Bahnen zusammen. Lassen sich noch andere Fälle finden, bei denen mindestens einer der drei Körper eine ebene Kurve als Bahn beschreibt? Lassen sich andere Fälle finden, bei denen eine der Regelflächen des Problems abwickelbar wird oder auf einen Kegel zurückkommt? Wir werden zeigen, daß\ dieser Fall nur eintreten kann, wenn zwei Seiten des Dreiecks der drei Körper beständig gleich bleiben. Nehmen wir dagegen an, daß\ die von einem der drei Körper beschriebene Asymptotenlinie auf einer der Regelflächen des Problems sei. Wir werden finden, daß auch in diesem Falle zwei Seiten des Dreiecks beständig gleich bleiben müssen. Somit stellt sich die Frage nach der Existenz oder der Nichtexistenz von speziellen Lösungen des Dreikörperproblems ein, bei denen das Dreieck der drei Körper immer gleichschenklig bleibt. Will man die bekannten \textit{Lagrange} schen Lösungen verallgemeinern, bei denen das Dreieck der drei Körper immer gleichseitig bleibt, so kommt man auf dasselbe Problem. Der große Mathematiker hat also die in dieser Richtung liegenden Möglichkeiten erschöpft; wir werden den folgenden Satz beweisen: Wenn zwei Seiten des von den drei Körpern gebildeten Dreiecks immer gleich sind, und wenn die Massen der beiden an der Basis dieses gleichschenkligen Dreiecks liegenden Körper nicht gleich sind, so muß\ die dritte Seite des Dreiecks den beiden andern gleich sein, so daß\ dieser Fall auf den \textit{Lagrange} schen zurückkommt. Wenn dagegen die erwähnten Massen gleich sind, so lassen sich zwei neue Fälle gleichschenkliger Lösungen des Problems finden, wie dies schon \textit{Fransén} 1895 bewiesen hat (Stockholm Öfv. 52, 783-805; F. d. M. 26, 1098 (JFM 26.1098.*), 1895). Um diesen Satz zu beweisen, habe ich einen langen und schwierigen Weg verfolgen müssen.'' \(\S\) 1. Die Differentialgleichungen des Dreikörperproblems. \(\S\) 2. Die Regelfläche \(R_{xy}\) beschrieben von der Seite \( P_x P_y \) des Dreiecks. \(\S\) 3. Differentialgleichungen der Bahnen. \(\S\) 4. Beweis der Nichtexistenz gleichschenkliger Lösungen in dem allgemeinen Falle, die von den \textit{Lagrange} schen gleichseitigen verschieden sind. (Dieser Beweis ist von \textit{W. D. MacMillan} beigesteuert.)