Remarque élémentaire sur le problème des ondes sphériques. (Q1478083)

Man bezeichne mit \(\varDelta^k\) das Resultat der \(k\)-mal ausgeübten Operation \(\frac {\partial^2}{\partial x^2}+ \frac {\partial^2}{\partial y^2}+\frac {\partial^2}{\partial z^2}.\) Hängt \( U(x, y, z) \) nur von der Entfernung \( r \) vom Koordinatenanfang ab, so ist \[ \varDelta^k U = \frac 1r \frac {d^{2k}}{dr^{2k}} (rU). \] Eine Funktion \( U (x, y, z, t)\) möge der Differentialgleichung genügen: \[ \begin{matrix}\l &\l &\l &\l &\l &\l\\ & L_0 U &+ L_1 \frac {\partial U}{\partial t} &+ L_2 \frac {\partial^2 U}{\partial t^2} + \cdots & + L_l \frac {\partial^l U}{\partial t^l} &\\ + &M_0 \varDelta U &+ M_1 \varDelta \frac {\partial U}{\partial t} &+ \cdots &+M_m \varDelta \frac {\partial^m U}{\partial t^m} &\\ + &N_0 \varDelta^2 U &+ N_1 \varDelta^2 \frac {\partial U}{\partial t} &+ \cdots &+N_n \varDelta^2 \frac {\partial^n U}{\partial t^n} &\\ + & \hdotsfor5 \\ + &P_0 \varDelta^k U &+ P_1 \varDelta^k \frac {\partial U}{\partial t} &+ \cdots &+P_p \varDelta^k \frac {\partial^p U}{\partial t^p} &=0,\end{matrix} \] wo die \(L, M, N, \dots, P \) Konstanten sind. Der Typus dieser Gleichungen ist der allgemeinste einer partiellen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und ohne rechte Seite, der eine Funktion \( U(x, y, z, t) \) genügen kann, wenn diese Gleichung bei jeder Transformation rechtwinkliger Koordinaten ihre Form behalten soll. Bei jedem Problem, das von einer solchen Gleichung abhängt, erhält man das allgemeine Integral \( U(r, t)\) des besonderen Problems der Kugelwellen, indem man das allgemeine Integral \( V(r, t) = rU \) des besonderen Problems der ebenen Wellen nimmt und es durch \( r \) dividiert. Unter den Typus dieser Gleichung fallen fünf verschiedene Differentialgleichungen der mathematischen Physik.