Zur Theorie des logarithmischen Potentials. Aufsatz XII. (Q1478180)

Es wird das folgende Theorem bewiesen: ``Die Funktion \(f(x)\) besitze eine endliche Zahl von Unstetigkeitspunkten \(x^{(1)}, x^{(2)}, \dots, x^{(n)},\) durch welche die \(x\)-Achse in \( n + 1\) Abteilungen zerfällt; und in jeder einzelnen Abteilung sei \(f(x)\) gleichmäßig stetig. Überdies sei vorausgesetzt, daß\ der absolute Wert von \(f(x)\) durchweg kleiner als eine endliche Konstante \(\mu\) sei. Dann gilt für den Ausdruck \[ (38) \quad {\mathfrak A} (\alpha, x_0) = R+h \int_{- \infty}^{+\infty} \frac {f(x) dx}{\alpha + i (x-x_0)} \] in jeden Punkte \(x_0\) der \(x\)-Achse die Formel \[ (39) \quad \lim_{\alpha=0} {\mathfrak A} (\alpha, x_0) =\frac 12 \pi [ f(x_0 - 0) + f(x_0 + 0)], \] in der das zu Null herabsinkende \(\alpha\) positiv zu denken ist.'' Der Gang des Beweises ist der, daß\ das Integral \({\mathfrak A} (\alpha, x_0)\) zunächst durch die Summe zweier andern Integrale \({\mathfrak A}' (\alpha, x_0)\) und \({\mathfrak A}' (\alpha, x_0)\) ausgedrückt wird, deren jedes die Grenzen 0 und \(\infty\) hat, daß\ ferner \({\mathfrak A}'\) sowohl wie \({\mathfrak A}''\) in zwei Teilintegrale zerlegt und auf jeden Teil der Mittelwertsatz angewandt wird. Dadurch wird eine obere Grenze für den absoluten Wert von \({\mathfrak A}''\) und \({\mathfrak A}'\) gewonnen, und durch passende Wahl der Grenzen der Teilintegrale läßt sich erreichen, daß\ der absolute Wert von \({\mathfrak A}'' - \frac \pi{2} f(x+0) < \pi \varepsilon \) ist, sowie daß\ die kleine Größe \(\varepsilon\) zugleich mit \(\alpha\) verschwindet. Gleiches gilt für \({\mathfrak A}' - \frac 12 \pi f(x_0 - 0), \) und daraus folgt der obige Satz. Umschließt man die Unstetigkeitspunkte \(x^{(1)}, x^{(2)}, \dots, x^{(n)}\) der Funktion \(f\) durch Kreise mit sehr kleinen Radien, so wird (zweites Theorem) gezeigt, daß\ für die Gesamtheit derjenigen Punkte \(x_0,\) die außerhalb jener Kreislinien oder auf denselben liegen, die obige Konvergenz \(\lim_{\alpha=0}{\mathfrak A} (\alpha, x_0)\) eine \textit{gleichmäßige} ist. Bezeichnet man ferner mit \({\mathfrak B} (\alpha, x_0)\) und \({\mathfrak C}(\alpha, x_0)\) die Integrale, die aus \({\mathfrak A}(\alpha, x_0)\) entstehen, wenn man für \(\alpha + i(x-x_0) \) setzt \(\sin [\alpha + i(x- x_0],\) resp. tang \([\alpha + i(x - x_0)], \) so ist \[ \lim_{\alpha = 0} {\mathfrak B} (\alpha, x_0) = \lim_{\alpha = 0} {\mathfrak C} (\alpha, x_0) = \lim_{\alpha=0}{\mathfrak A} (\alpha, x_0) \] (drittes Theorem). Dasselbe gilt auch (viertes Theorem) für die Funktion \({\mathfrak L}(\alpha, x_0),\) die aus \({\mathfrak A} (\alpha, x_0)\) dadurch entsteht, daß\ man \(1 : [\alpha + i(x - x_0)], \) durch die Funktion \( W' [\alpha + i(x - x_0)], \) ersetzt, falls \(W'\) die Ableitung einer monogenen Funktion \( W(\alpha + i\sigma)\) darstellt, deren rein imaginärer Teil \(i V(\alpha, \sigma) \) folgenden Bedingungen genügt: \[ \lim_{\alpha = 0} [ V (\alpha, \infty) - V (\alpha, 0)] =K,\quad\lim_{\alpha=0} [V(\alpha,\infty)- V(\alpha,\sigma)]=0 \text{ für }\sigma>0. \] \(K \) ist dabei eine bestimmte positive, von Null verschiedene Konstante. Zum Schluß\ wird die Beziehung des ersten Theorems zur \textit{Poisson} schen Kreisformel dargelegt. Verwandelt man die \(x\)-Achse durch die Methode der reziproken Radien in einen Kreis, so geht der obige Ausdruck für \({\mathfrak A}(\alpha, x_0)\) in folgenden über: \[ {\mathfrak A} (\alpha, x_0) = \int_{-\pi}^{+\pi} \frac {(R^2 - \varrho^2)f(\varphi)d\varphi}{[R^2 +\varrho^2 -2R\varrho \cos (\varphi - \varphi_0)]}, \] und für \(\alpha = 0\) wird \(R = \varrho\), \( \lim_{\alpha=0} {\mathfrak A} (\alpha, x_0)\) geht daher in die \textit{Poisson} sche Kreisformel über. In ähnlicher Weise hängt das dritte Theorem mit der Lösung der Kreisbogenzweieck-Aufgabe zusammen, einer Aufgabe, die in den früheren Aufsätzen des Verf. behandelt ist.