Sul fenomeni ereditarii. (Q1478300)

Wir berichten über diese wichtige Arbeit mit den Ausdrücken des Verf. - ``In der zweiten Note dieser Rendiconti, die den Vererbungserscheinungen gewidmet ist (F. d. M. 40, 870 (JFM 40.0870.*), 1909), habe ich das Prinzip des geschlossenen Zyklus in dem Falle der linearen Vererbung aufgestellt. Dies ist jedoch nur ein besonderer Fall der allgemeinen Vererbung. Deshalb entsteht von selbst der Gedanke, das Prinzip außerhalb des Feldes der linearen Vererbung zu verfolgen. Ich erlaube mir hier, das nämliche Prinzip in seiner allgemeineren Form auseinanderzusetzen. Diese Untersuchung führt zum Studium der invarianten Eigenschaften der Funktionen von Linien für spezielle Verschiebungen der Linien selbst. Von dem Gesichtspunkte der Theorie dieser Funktionen aus bildet sie also einen ersten Schritt in dem allgemeinen Studium ihrer invarianten Eigenschaften. Wenn in dieser Note auch nur der Teil einer derartigen Forschung vertieft wird, der die spezielle Frage des geschlossenen Zyklus betrifft, so ergibt sich doch, daß\ die hier benutzten Kriterien einer beträchtlichen Ausdehnung fähig sind. Der grundlegende Begriff der Vererbungserscheinungen beruht darin, daß\ man den gegenwärtigen Zustand eines Systems als abhängig von seiner ganzen Vorgeschichte ansieht. Beschränkt man sich auf den einfachen Fall, bei dem der gegenwärtige Zustand (zur Zeit \(t = x\)) eines Parameters \(z\) von der ganzen Geschichte eines Parameters \(y\) in der vor \(x\) liegenden Zeitperiode abhängt, d. h von allen Werten, die \(y\) in der vor \(x\) liegenden Zeitperiode angenommen hat, so folgt, wenn man \(y = f(t)\) ansetzt, daß\ \( z \) von allen Werten von \(f(t)\) für \(- \infty < t \leqq x\) abhängt. Wir können daher schreiben: \[ z = F |\, [\underset {-\infty} {\overset {x} {f(t)}} ] \, |. \] '' Nach einer längeren Auseinandersetzung über die graphische Darstellung heißt es dann: ``Betrachten wir \(y\) und \( z \) als Abszisse und Ordinate eines Punktes der Ebene; wenn wir \(x\) sich ändern lassen, so durchläuft der Punkt in dem vorliegenden Falle einen geschlossenen Zyklus mit periodischer Bewegung von der Periode \( T. \) Wir können daher diesen Fall durch die Aussage kennzeichnen, daß\ bei ihm sich die Bedingungen des geschlossenen Zyklus mit der Periode \(T\) betätigen. Wir wollen nun das Theorem beweisen: Wenn die Bedingungen des geschlossenen Zyklus für alle Perioden bestätigt werden, so gilt die Invariabilität der Vererbung, und umgekehrt: wenn die Unveränderlichkeit der Vererbungen gilt, so werden die Bedingungen des geschlossenen Zyklus für alle Periode bestätigt. Wir können daher schließen: Zufolge des Postulates der Dissipation der Vererbungsaktion sind die Bedingung des geschlossenen Zyklus für jedwede Periode und die Invariabilität der Vererbung äquivalente Bedingungen. Diesem grundlegenden Theorem in der Forschung über Vererbungserscheinungen jedweder Art geben wir den Namen des \textit{Prinzipes des geschlossenen Zyklus}.'' Aus diesem Prinzipe werden mannigfaltige Folgerungen gezogen, die in verchiedenen Theoremen und Korollarien ausgesprochen werden.