Sur im théorème général de l'optique. (Q1478519)

Im Verlaufe seiner Untersuchungen über die Theorie der optischen Instrumente (Sur la théorie des lunettes. Oeuvres 4, 535-555, 1778 u. Mëmoire sur une loi générale d'optique; 5, 701-710, 1805) ist \textit{Lagrange} dazu gelangt, ein grundlegendes Theorem aufzustellen, das allen Physikern wohlbekannt ist. Zahlreiche neuere Überlegungen über den Gang der Lichtstrahlen in einem beliebigen Medium sind mit seinem Ergebnisse innig verknüpft, und so ist es vielleicht bei dieser Gelegenheit angebracht, darauf hinzuweisen, wie diese Betrachtungen auf den allgemeinen Fall der doppelbrechenden Körper ausgedehnt werden können.'' Diese Erweiterung wird in folgender Fassung gewonnen: ``Es seien \(P_1\) und \(P_2\) zwei willkürlich gewählte Punkte, \(P_1P_2\) der von dem ersten zum zweiten gehende Lichtstrahl, \(P_1N_1\) die Wellennormale und \(u_1\) die Wellengeschwindigkeit, wie sie am Ausgangspunkte dieses Strahles sind, wo \(P_1N_1\) in der Ausbreitungsrichtung gezogen ist. Man bezeichne ebenso durch \(P_2N_2\) und \(u_2\) die Wellennormale und Wellengeschwindigkeit für den Ausgangspunkt \(P_2\) des umgekehrten Lichtstrahls \( P_2P_1.\) Endlich seien \( V_1\) und \(V_2\) zwei beliebige, durch \(P_1N_1\) und \(P_2N_2\) gehende Ebenen, \(P_1X_1\) und \(P_2X_2\) zwei in diesen Ebenen gelegene Achsen, die erstere senkrecht zu \(P_1N_1,\) die zweite zu \(P_2 N_2.\) Nimmt man nun auf der ersten Achse einen Punkt \(Q_1\) unendlich nahe bei \(P_1\) an \((P_1Q_1=h_1),\) auf der zweiten einen Punkt \(Q_2\) unendlich nahe bei \(P_2(P_2Q_2=h_2),\) so kann man die Strahlen betrachten, von denen der eine von \(P_1\) nach \(Q_2,\) der andere von \(P_2\) nach \(Q_1\) geht, sowie die Wellennormalen \(P_1N_1'\) und \(P_2N_2', \) die den ersten Elementen dieser Strahlen eigen sind. Im allgemeinen werden diese Normalen aus den Ebenen \( V_1 \) und \( V_2\) heraustreten. Wenn man sie auf \(V_1\) und \(V_2\) projiziert und den unendlich kleinen Winkel, den die Projektion von \(P_1N_1'\) auf \( V_1\) mit \( P_1N_1\) bildet, durch \(\psi_1\) bezeichnet, den entsprechenden Winkel bei \(P_2\) durch \(\psi_2\) so haben die beiden Ausdrücke in der Gleichung \(\frac {\psi_2}{u_2h_1} = \frac {\psi_1}{u_1 h_2}\) dieselbe Größe und dasselbe algebraische Zeichen. Was die Zeichen anlangt, so sind diese bestimmt bei \( h_1 \) und \( h_2 \) durch die Wahl der positiven Richtungen \(P_1X_1\) und \(P_2X_2\) bei \(\psi_1\) und \(\psi_2\) dadurch, daß\ die Drehungen von \(P_1N_1\) nach \(P_1X_1\) und von \(P_2N_2\) nach \(P_2X_2\) als positiv betrachtet werden.'' Von jener Formel ausgehend, findet der Verf. leicht wohlbekannte Sätze.