\textit{Leibniz} auf der Suche nach einer allgemeinen Primzahlgleichung. (Q1479318)

Auf Grund eines eingehenden Studiums der \textit{Leibniz}-Handschriften in Hannover schildert \textit{Mahnke} hier die Versuche \textit{Leibniz}ens, eine allgemeine Gleichung, deren Wurzeln lauter Primzahlen sind, aufzustellen, und gibt auch Auskunft über andere Ergebnisse, zu welchen \textit{Leibniz} bei diesem Versuche, der natürlich mißlingen mußte, gekommen ist. Schon 1677 glaubte \textit{Leibniz} ein einfaches Primzahlkriterium gefunden zu haben, nämlich: ``Wenn man das Produkt der aufeinanderfolgenden Primzahlen \(2,\, 3,\, 5,\, \ldots\) um 1 vermehrt oder vermindert, so erhält man eine neue Primzahl''; aber natürlich muß er recht bald entdeckt haben, daß dieser Satz falsch ist. Dagegen hat er sich eingehend beschäftigt mit dem Versuche, die Gleichung \(2^{x-1} - 1 = nx\) als allgemeine Primzahlgleichung festzustellen, d. h. zu beweisen, daß jede ganze Zahl, die der Gleichung genügt, eine Primzahl ist, und daß ebenso jede Primzahl eine Wurzel der Gleichung ist. Er hat auch eine Abhandlung über diese Frage in Angriff genommen; aber vermutlich hat er später entdeckt, daß sein vermeintlicher Beweis unrichtig sei, denn über den Gegenstand hat er gar nichts veröffentlicht. Anderseits wurde er dadurch veranlaßt, sich mit verschiedenen zahlentheoretischen Problemen, besonders mit dem \textit{Fermat}schen Satze: ``\(a^{p-1}\equiv1\;(\text{mod.}\, p)\), wenn \(p\) eine Primzahl und \(a\) eine zu \(p\) prime ganze Zahl ist'', zu beschäftigen; er scheint diesen Satz unabhängig von \textit{Fermat} entdeckt zu haben, und zwar bei Gelegenheit seiner kombinatorischen Untersuchungen; von ihm rührt jedenfalls der erste bekannte Beweis des Satzes her. Die Beschäftigung mit diesem Satze regte ihn auch zu Untersuchungen über andere Fragen an, z. B. den polynomischen Lehrsatz, die Potenzsummenformeln und die periodischen Dezimalbrüche. Über die Ergebnisse dieser Untersuchungen gibt \textit{Mahnke} ebenfalls genaue Auskunft.