Recherches sur la theorie des équations. (Q1479692)

Die Untersuchungen des Verf. streben letzten Endes dem Ziele zu, teils durch Verallgemeinerung bekannter Sätze über algebraische Gleichungen auf transzendente Gleichungen, teils durch Aufstellung neuer Sätze über transzendente Gleichungen an das \textit{Riemann}sche Problem über die Nullstellen der \(\zeta\)-Funktion heranzukommen. Wesentlich ist für den Verf. der Begriff des ``Typus'' einer reellen algebraischen oder transzendenten Gleichung. Darunter wird die Anzahl der Paare konjugierter komplexer Nullstellen verstanden. Mit Hülfe dieses Begriffes und einer bei englischen Mathematikern vielfach üblichen Symbolik gelingt es dem Verf., eine Reihe bekannter Sätze von \textit{Waring, Poulain, Laguerre, E. Malo} teils einfacher zu beweisen, teils auf ganze transzendente Funktionen auszudehnen. Andererseits wird' eine Reihe neuer Sätze über den Typus ganzer transzendenter Funktionen aufgestellt. Aus der Gesamtheit der interessanten und überraschend einfach abgeleiteten Sätze greifen wir folgenden heraus: Sei \(F(z)\) eine ganze Funktion des Geschlechtes 0 oder 1 der Variabein \(z=x+iy\), dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(F(z)\) vom Typus Null ist, das Bestehen der Beziehung \[ \frac{\partial}{\partial y}|F(z)|^2>0 \] in der oberen Halbebene.