Über die quadratischen Formen mit rationalen Funktionen als Koeffizienten. (Q1479732)

Vergl. über eine voraufgegangene Abhandlung F. d. M. 42, 449 (JFM 42.0449.*), 1911. Der bekannten arithmetischen Theorie der Formen \(ax^2+ bxy+cy^2\) mit gegebener Diskriminante wird eine analoge Theorie zur Seite gestellt, wo \(a\), \(b\), \(c\) in einer Variable \(z\) ganzrational sind und die Diskriminante eine beliebig vorgegebene ganzrationale Funktion ist. Als diese Funktion wird insbesondere \(4(z-e_1)(z-e_2)(z-e_3)\) genommen, wegen des nahen Zusammenhanges mit den elliptischen Funktionen. Die Gesetzmäßigkeiten dieser allgemeineren Formen sind noch einfacher und anschaulicher, als im Falle ganzzahliger \(a\), \(b\), \(c\), so daß es z. B. in jeder Formenklasse nur eine einzige reduzierte Form gibt. Ferner entspricht der klassischen Zuordnung der Formen zu den Idealen dort die Zuordnung der Formen zu den ``Divisoren'' des zugehörigen quadratischen (elliptischen) Funktionenkörpers. Man setze (1) \(d = (z - e_1)(z - e_2) (z - e_3)\equiv s^2\), so wird der quadratische Funktionenkörper \(\mathfrak K(\sqrt{d})\) zugrunde gelegt. Jede ganze Funktion des Körpers läßt sich auf die Form \(F=A(z)+B(z)s\) bringen, wo \(A\), \(B\) in \(z\) ganzrational sind, so daß die Größen 1, \(s\) eine Minimalbasis von \(\mathfrak K\) bilden. Deren Diskriminante (2) \(\left|\begin{matrix} 1\, \phantom{ - }\, s\\ 1 - s\end{matrix}\right|^2=4s^2=4d\equiv\varDelta\) ist die ``Grundfunktion''. Über der \(z\)-Ebene wird die die Verzweigung von \(s\) darstellende \textit{Riemann}sche Fläche \(R_z\) in geeigneter Weise konstruiert; den Stellen \(z = e_1,e_2,e_3,\infty\) entsprechen die Punkte \(\mathfrak E_1\), \(\mathfrak E_2\), \(\mathfrak E_3\), \(\mathfrak P_\infty\) von \(R_z\). Übereinanderliegende Punkte \(\mathfrak A\), \(\bar\mathfrak A\) heißen konjugiert. Irgendeine Funktion \(F = X+ Ys\) des Körpers ist durch den ``Divisor'' \(\mathfrak F\equiv c\dfrac{\mathfrak F_1}{\mathfrak F_2}\equiv c\dfrac{\mathfrak A_1^{\lambda_1}\mathfrak A_2^{\lambda_2}\cdots \mathfrak A_h^{\lambda_h}} {\mathfrak B_1^{\mu_1}\mathfrak B_2^{\mu_2}\cdots \mathfrak B_k^{\mu_k}}\) charakterisiert; hier sind die \(\mathfrak A_i\) und \(\mathfrak B_k\) die Nullstellen, bzw. Pole mit den Vielfachheiten \(\lambda_i\), \(\mu_k\), wo \(\lambda=\sum\lambda_i=\mu=\sum \mu_k\) der Grad heißt, und \(\lambda-\mu=0\) die Ordnung; endlich bedeutet \(c\) den Koeffizienten des niedrigsten Gliedes in der Entwicklung von \(F\) an der Stelle \(z=\infty\) nach steigenden Potenzen von \(\left(\dfrac 1z\right)^{\frac12}\). Im Falle \(Y = 0\) heißen Funktion wie Divisor rational. Neben den bisherigen ``algebraischen'' Divisoren werden auch ``beliebige'' \(\mathfrak Q=\dfrac{\mathfrak Q_1}{\mathfrak Q_2}= \dfrac{\mathfrak A_1^{\lambda_1}\cdots \mathfrak A_h^{\lambda_h}} {\mathfrak B_1^{\mu_1}\cdots \mathfrak B_k^{\mu_k}}\) verwendet, wo die \(\mathfrak A_i\), \(\mathfrak B_k\) beliebige Punkte sind, und nur die ``Ordnung'' \(\lambda-\mu=\sum \lambda_i-\sum \mu_k\) gleich Null vorausgesetzt wird. Multiplikation und Division führen solche Divisoren der Ordnung Null stets wieder in solche über. Ein \(\mathfrak Q\) heißt ``ganz'', wenn es die Form hat \(\mathfrak Q= \dfrac{\mathfrak A_1^{\lambda_1}\mathfrak A_2^{\lambda_2}\cdots \mathfrak A_h^{\lambda_h}} {\mathfrak P_{\infty}^{\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_h}}\). Die Bezeichnung ``konjugiert'' überträgt sich von den Punkten auf die Divisoren. Das Produkt eines Divisors \(\mathfrak Q\) und seines konjugierten \(\bar \mathfrak Q\) heißt die Norm \(N(\mathfrak Q)\) von \(\mathfrak Q\). \(\mathfrak Q\) heißt durch \(\mathfrak Q_1\) ``teilbar'', wenn \(\mathfrak Q=\mathfrak Q_1\mathfrak Q_2\). Die Divisoren ersten Grades \(\dfrac{\mathfrak A}{\mathfrak P_{\infty}}\) spielen die Rolle der Primfaktoren, der Divisor \(\dfrac{\mathfrak P_\infty}{\mathfrak P_\infty}=1\) die Rolle der Einheit, usf. Endlich heißt ein ganzer Divisor \(\mathfrak Q\) ``primär'', wenn er durch keinen rationalen Divisor teilbar ist. Nunmehr wendet sich der Verf. zu der Zuordnung von Formen und Divisoren. Die Form \((a, b, c)\) wird als primitiv vorausgesetzt, so daß \(a\), \(b\), \(c\) keinen gemeinsamen (rationalen) Teiler haben. Man erkennt zunächst, daß \(b+\sqrt{\varDelta}=\mathfrak P\) ein primärer Divisor ist, und desgleichen der größte gemeinsame Teiler \(\mathfrak Q\) von \(a\) und \(\mathfrak P\), woraus folgt, daß \(a=N(\mathfrak Q)\). Damit ist der Form \((a, b, c)\) ein eindeutig bestimmter primärer Divisor \(\mathfrak Q\) zugeordnet, allgemeiner jeder Divisor \(\mathfrak Q\cdot\mathfrak r\), wo \(\mathfrak r\) einen rationalen Divisor bedeutet. Umgekehrt wird ein beliebiger (ganzer) Divisor \(\mathfrak Q'\) erst vermöge \(\mathfrak Q'=\mathfrak Q\cdot\mathfrak r\) auf einen primären \(\mathfrak Q\) reduziert. Man setze \(a =N(\mathfrak Q)\) und bestimme \(b\) so, daß \(b+\sqrt{\varDelta}\) durch \(\mathfrak Q\) teilbar wird. Damit bestimmt sich \(c=\dfrac{b^2-\varDelta}{4a}\) als ganze rationale Funktion. Dem Divisor \(\mathfrak Q'\) wird dann die primitive Form \((a,b,c)\) mit der Diskriminante \(\varDelta\) zugeordnet (I). Die Bestimmung von \(b\) ist auf verschiedene Arten möglich, zu \(\mathfrak Q'\) gehört so die Schar der ``Parallelformen'' \((a, b+ 2Ba, c+Bb+B^2a)\), und umgekehrt führen Parallelformen zu demselben Divisor. Zwei Formen \((a, b, c)\), \((a', b', c')\) heißen ``äquivalent'', wenn sie auseinander durch eine unimodulare Substitution \(t_1 =\alpha t_1'+\beta t'\), \(t_2=\gamma t_1'+\delta t_2'\) mit ganzrationalen Koeffizienten hervorgehen. Entsprechend heißen zwei (ganze) Divisoren \(\mathfrak Q_1\), \(\mathfrak Q_2\) ``äquivalent'', wenn \(\mathfrak Q_1=\mathfrak Q_2\cdot\eta\), wo \(\eta\) eine ganze oder gebrochene Funktion des Körpers ist. Dann entsprechen äquivalente Formen äquivalenten Divisoren und umgekehrt (II). Der Beweis beruht darauf, daß die Funktionen \(\alpha_1=N(\mathfrak Q)\cdot\mathfrak r=a\cdot\mathfrak r\), \(\alpha_2=-\dfrac{b+\sqrt{\varDelta}}{2}\cdot \mathfrak r\) eine Basis bilden für alle durch \(\mathfrak Q'\) teilbaren ganzen Funktionen oder das Ideal \(I(\mathfrak Q')\). Für die Norm der Basisform \(\lambda=\alpha_1 t_1+\alpha_2t_2\) ergibt sich die fundamentale Gleichung \(N(\lambda) = N(\mathfrak Q') (at_1^2+bt_1t_2+ct_2^2)\). Aus ihr folgt, daß zu verschiedenen Basen eines und desselben Ideals äquivalente Formen gehören. Der Begriff der äquivalenten (primitiven) Formen der Diskriminante \(\varDelta\) führt unmittelbar zu dem der Klassen, sowohl von Formen wie von Divisoren. Nunmehr werden die Formen innerhalb einer einzelnen Klasse betrachtet. Dem einfachsten Divisor \(\mathfrak Q=1\) entspricht die Hauptform \(t_1^2-\varDelta t_2^2\) als einfachste oder ``reduzierte'' Form der Formenhauptklasse. Eine beliebige Form \((a, b, c)\) heißt ``reduziert'', wenn die Grade \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) von \(a\), \(b\), \(c\) die Werte haben: \(\beta= 0\), \(\alpha = 1\), \(\gamma=2\). Dann gilt der Fundamentalsatz: In jeder Klasse gibt es eine und nur eine reduzierte Form (IIIa). Der Beweis beruht darauf, daß es zu jedem ganzen Divisor einen und nur einen reziproken Divisor ersten Grades gibt. Zu jedem Punkt der \textit{Riemann}sehen Fläche \(R_z\) gehört eine Divisoren- und Formenklasse ; dem \(\mathfrak P_\infty\) insbesondere entspricht die Hauptklasse. Hieraus folgt: Die Klassen quadratischer Formen \((a, b, c)\) bilden eine kontinuierliche Mannigfaltigkeit von der Dimension \(\infty^2\) (IV). Jetzt werden die Klassen selbst als Elemente der Untersuchung betrachtet. Die Begriffe: Produkt \(\mathfrak Q_1\mathfrak Q_2\) zweier Klassen und reziproke Klasse \(\mathfrak Q^{-1}\), zweiseitige (ambige) Klassen führen sich von selbst ein. Die Divisoren- und Formenklassen bilden bei der Komposition durch Multiplikation eine unendliche \textit{Abel}sche Gruppe \(\varGamma\); die Hauptklasse \(E\) spielt darin die Rolle des Einheitselementes. Zwei Klassen heißen ``äquivalent'', wenn sie sich bloß um eine zweiseitige Klasse unterscheiden; äquivalente Klassen werden zu einer ``Art'' zusammengefaßt, wobei die zweiseitigen Klassen selbst die Hauptart bilden. Den zweiseitigen Klassen werden ``Charaktere'' zugeordnet. Man nehme aus jeder zweiseitigen Funktionsklasse einen Repräsentanten und frage nach den Änderungen, die diese Funktionen bei Durchlaufung eines beliebigen geschlossenen Weges auf \(R_z\) erleiden; sie nehmen hierbei nur die Faktoren \(\pm 1\) an. Auf einem solchen Wege wird stets ein Charakter erzeugt; damit lassen sich die geschlossenen Wege auf \(R_z\) selbst in Klassen einteilen, und man erlangt so auf rein arithmetischer Grundlage einen Einblick in die Zusammenhangsverhältnisse von \(R_z\). Es werden dann noch die allgemeinen (\(q = 2n + 1\), resp. \(= 2n\)-seitigen) Klassen genauer untersucht. Die Anzahl derselben beträgt \(q^2\). Vorstehendes genüge, um von dem reichen Inhalt der Abhandlung eine Vorstellung zu erwecken.