Über die Bewegungsgruppen der euklidischen Räume. (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich. (Q1479740)

Man vergleiche die Besprechung der voraufgegangenen Abhandlung und Note in F. d. M. 42, 144 (JFM 42.0144.*), 151, 1911, deren Ergebnisse inzwischen \textit{Frobenius} (F. d. M. 42, 152 (JFM 42.0152.*), 153, 1911) einfacher abgeleitet hat. Im folgenden handelt es sich um Bewegungsgruppen mit einem endlichen Fundamentalbereiche \(F\); nach \textit{Frobenius} (l. c.) gibt es nur endlich viele derartige Gruppen. Bewegung \(\mathfrak B\) eines euklidischen \(R_n\) war eine reelle \(S: x_i'=\sum\limits_1^n { i}\,a_{ik}x_k+A_i\) (\(i = 1,\ldots, n\)), die sich durch Nullsetzen der \(A_i\) auf eine orthogonale \(\mathfrak R\), ``den rotativen Teil der Bewegung'', reduziert, während \(x_i' = x_i+A_i\) den ``Translationsteil'' \(\mathfrak T\) darstellt; oder kürzer, es ist \(\mathfrak B=\mathfrak T\mathfrak R\). Die Forderung, daß eine Gruppe \(G\) von \(\mathfrak B\) einen (endlichen oder unendlichen) Fundamentalbereich \(F\) besitzen soll, war gleichbedeutend mit der andern, daß die Gruppe keine infinitesimalen \(S\) enthält. Die \(G\) mit einem unendlichen Fundamentalbereich \(F\) sind zerlegbar, und umgekehrt haben alle zerlegbaren \(G\) mit einem \(F\) einen unendlichen \(F\). Andererseits enthalten die \(G\) mit endlichem \(F\) Translationen \(\mathfrak T\), und diese \(\mathfrak T\) bilden eine ausgezeichnete Untergruppe der \(G\); die Anzahl der unabhängigen \(\mathfrak T\) in \(G\) beträgt \(n\). Zwei Gruppen \(G\), \(G_1\) gelten als verschieden, wenn sie nicht äquivalent sind. Der Beweis, den der Verf. dafür liefert, daß es nur endlich viele verschiedene \(G\) mit endlichem \(F\) gibt, beruht auf Methoden, die \textit{Minkowski}, über \textit{Gauß} und \textit{Dirichlet} hinausgehend, in der Theorie der positiven quadratischen Formen \(F(x_1, x_2,\ldots, x_n)\) entwickelt hat. Zunächst wird die Untergruppe der \(\mathfrak T\) genauer untersucht, auf Grund der Tatsache, daß es stets \(n\) unabhängige solcher \(\mathfrak T\) gibt. Es lassen sich (und zwar in verschiedener Weise) \(n\) erzeugende \(\mathfrak T_i\) (\(i = 1, 2,\ldots, n\)) der Untergruppe aufstellen. Man kann die \(\mathfrak T_i\) auf die Form (\(k=1,\ldots,n\)) \(\xi_k'=\xi_k+A^{(i)}_k\) mit \textit{ganzzahligen} \(A_k^{(i)}\) bringen. Sodann wird die Gruppe der rotativen Teile \(\mathfrak R\) betrachtet; diese Gruppe ist mit der \(G\) selbst mehrstufig isomorph. Aber die Gruppe der \(\mathfrak R\) ist auch eine \textit{endliche}. Man kann auch hier neue Variabeln derart einführen, daß die \(\mathfrak R\) \textit{ganzzahlige} Koeffizienten erhalten. Die ganzzahlige Gruppe der \(\mathfrak R\) läßt aber eine positive quadratische Form invariant, weil sie mit einer Gruppe orthogonaler Substitutionen äquivalent ist. Hieraus folgt nach einem bekannten Satze die \textit{Endlichkeit} dieser Gruppe der \(\mathfrak R\); man kann sogar eine nur von der Variabelnzahl abhängige obere Grenze für die Ordnung der Gruppe angeben. Nunmehr wird der Ansatz zum Endlichkeitsbeweise gemacht, indem zunächst gezeigt wird, daß zwei isomorphe Bewegungsgruppen immer durch eine passende Änderung der Variabeln auseinander hervorgehen. Dies beruht darauf, daß bei der isomorphen Zuordnung den Translationen der einen Gruppe die Translationen der andern entsprechen. Man wähle dann die Variabeln so, daß die Translationen ganzzahlige Substitutionen werden, und daß entsprechende Translationen beider Gruppen identisch ausfallen. Schließlich wird noch bewiesen, daß es nur endlich viele nicht isomorphe Bewegungsgruppen gibt; dann folgt in der Tat, daß es nur endlich viele Bewegungsgruppen gibt.