Zur Theorie der linearen homogenen Differentialausdrücke. (Q1479742)

In der Algebra gilt als Analogon zum zweiten euklidischen Fundamentalsatz der Zahlenlehre: Sind \(P\) und \(A\) teilerfremde ganze Funktionen, und ist, für \(U\) als eine ganze Funktion, das Produkt \(UP\) durch \(A\) teilbar, so ist \(U\) durch \(A\) teilbar. Es handelt sich um die Ausdehnung dieses Satzes auf lineare homogene Differentialausdrücke \(P\), \(A\), \(U\) usf., deren Koeffizienten einem gewissen Rationalitätsbereiche'' \(\varSigma\) angehören: (I) ``Ist \(P\) zu \(A\) teilerfremd, und ist das symbolische Produkt \(UP\) durch \(A\) teilbar, so ist \(U\) durch \(A_1\) teilbar, wo \(A_1\) mit \(A\) von derselben ``Art'' ist.'' Oder kürzer: ``\(A_1\) und \(A\) sind von derselben Ordnung, und \(A_1P\) ist durch \(A\) teilbar''. Dieser Satz (I) ist einer abermaligen Ausdehnung fähig: (II) ``\(P\) sei wiederum zu \(A\) teilerfremd und \(A\) in das Produkt \(BC\) zerlegbar. Ist dann \(UP\) durch \(A=BC\) teilbar, so auch \(U\) durch ein Produkt von der Form \(A_1 = B_1C_1\)''. Ist \[ A \equiv a_0(x)\frac{d^ny}{dx^n}+a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ \cdots+a_n(x)y \] und \(A_1\) ein analoger Ausdruck von derselben Ordnung \(n\) und mit Koeffizienten \(\bar a_i (x)\) aus demselben Bereiche \(\varSigma\) und der abhängigen Variable \(z\), so heißen \(A\) und \(A_1\) von derselben ``Art'', wenn die Integrale von \(A = 0\) und \(A_1 = 0\) durch die Beziehung \[ z=p_0(x)y+p_1(x)\frac{dy}{dx}+\cdots+p_m(x)\frac{d^my}{dx^m}\equiv P \tag{1} \] verknüpft sind, wo auch die \(p\) in \(\varSigma\) sind. In \(P\) darf man stets die Ordnung \(m\leqq n-1\) annehmen. Sollen sich durch (1) alle Integrale von \(A_1 = 0\) aus denen von \(A = 0\) ergeben, so dürfen, da \(A\) und \(A_1\) die gleiche Ordnung haben, \(P = 0\) und \(A=0\) keine Integrale gemein haben, d. h. \(P\) und \(A\) müssen teilerfremd sein. Da aber \(A_1P=0\) wegen (1) durch alle Integrale von \(A=0\) befriedigt wird, so ist \(A_1P\) durch \(A\) teilbar. Entsprechend wird die Umkehrung bewiesen. Damit ergibt sich zunächst der Satz von \textit{Heffter} (F. d. M. 27, 244 (JFM 27.0244.*), 1896): \(A\) und \(A_1\) sind dann und nur dann von derselben Art, wenn ein zu \(A\) teilerfremdes \(P\) existiert, so daß \(A_1P\) durch \(A\) teilbar ist. Der Beweis des Satzes (I) ergibt sich ohne weiteres, wenn man das kleinste gemeinsame Vielfache \(V\) von \(A\) und \(P\) bestimmt, dessen Ordnung gleich der Summe der Ordnungen von \(A\) und \(P\) ist. Es existieren dann zwei Ausdrücke \(A_1\) und \(P_1\), so daß \(V = A_1P = P_1A\) wird. Daraus folgt, daß \(A\) und \(A_1\) von derselben Art sind. Nun war \(UP\) durch \(A\) teilbar, also ist \(UP\) auch durch \(V\) teilbar. Es existiert also ein \(U'\), so daß \(UP=U'V = U'A_1P\), mithin ist \(U=U'A_1\) d. h. \(U\) ist durch \(A_1\) teilbar. Es folgt der Beweis des Satzes (II). \(UP\) soll durch \(BC\) teilbar sein, also ist \(UP\) durch \(C\) teilbar. Gemäß (I) existiert ein \(C_1\), von derselben Art wie \(C\), so daß \(C_1P\) durch \(C\) und \(U\) durch \(C_1\) teilbar sind. Es gibt somit ein \(P_1\), so daß \(C_1 P = P_1C\), und zweitens ein \(U'\), so daß \(U = U'C_1\) Daraus folgt aber \(UP = U'C_1P = U'P_1C\), also ist \(U'P_1\) durch \(B\) teilbar. Es wird noch bewiesen, daß \(P_1\) und \(B\) teilerfremd sind. Allgemeiner sei \(A\) in irreduzible Faktoren zerlegt: \(A=Q_{\lambda}Q_{\lambda-1}\cdots Q_1\). Sind \(P\) und \(A\) teilerfremd und \(UP\) durch \(A\) teilbar, so läßt sich auf Grund von (II) ein \(A_1=\bar Q_{\lambda}\bar Q_{\lambda-1}\cdots \bar Q_1\) herleiten, so daß \(U\) durch \(A_1\) teilbar wird und stets zwei \(Q_i\), \(\bar Q_i\) von derselben Art sind. Zerlegt man auch \(U\) in seine irreduzibeln Faktoren \(U=R_{\tau}R_{\tau-1}\cdots R_1\) (\(\tau\geqq \lambda\)), so gilt der Satz (III), daß man aus den \(R\) stets \(\lambda\) solche auswählen und den \(Q\) so zuordnen kann, daß je zwei zugeordnete von derselben Art sind. Dieser Satz läßt sich abermals ausdehnen, wenn man \(A\) oder \(U\) in größte vollständig reduzible'' Faktoren zerlegt. Vgl. das vorstehende Referat über \textit{Blumberg}.