Theoretical arithmetic (Q1479817)

Der Verf. dieses Werkes hat vor einigen Jahren gleichfalls im Verlage der Krakauer Akademie der Wissenschaften ein Buch über die Grundzüge der Theorie der ganzen Zahlen veröffentlicht und läßt nun als Fortsetzung ein umfangreiches Werk über die modernen Grundlagen der Arithmetik erscheinen, welches ebenso wie das frühere seinen Vorlesungen an der Krakauer Universität entsprungen ist. Infolgedessen ist es insbesondere didaktischen Zwecken gewidmet und unterscheidet sich dadurch von dem für Anfänger weniger geeigneten fundamentalen Werke von \textit{Stolz} und \textit{Gmeiner}. Überall gehen den abstrakten rein arithmetischen Untersuchungen provisorische geometrisch-anschauliche Theorien voraus. Nach einer Einleitung über den allgemeinen Größenbegriff, wobei Größen im weiteren und Größen im engeren Sinne unterschieden werden, und über den allgemeinen Operationsbegriff, werden die rationalen Zahlen als Maße geradliniger Segmente eingeführt. Diese Theorie wird sodann durch eine rein arithmetische Theorie der rationalen Zahlen ersetzt. Sodann wird die Notwendigkeit der Einführung irrationaler Zahlen geometrisch erklärt; sie führt zu dem Begriffe des \textit{Dedekind}schen Schnittes. Es wird die Äquivalenz der verschiedenen Postulate der Existenz irrationaler Punkte gezeigt, insbesondere akzeptiert der Verf. das \textit{Ascoli}sche Postulat. Es wird sodann wieder eine rein arithmetische Theorie der irrationalen Zahlen entwickelt, worauf die bekannten Theorien der relativen, komplexen Zahlen, der komplexen Zahlen mit mehr als zwei Einheiten, der unendlichen Folgen und Reihen, der Dezimalbrüche und der Kettenbrüche folgen. Es wird dann das allgemeine Meßproblem studiert und die Anwendung des Zahlbegriffs auf dasselbe dargelegt. Nun wendet sich der Verf. abstrakten Untersuchungen über den allgemeinen Zahlbegriff zu und führt den allgemeinen Begriff \textit{isomorpher} Zahlensysteme, sowie den Begriff der \textit{typischen} Eigenschaften dieser Systeme ein. Als Beispiel wird ein System der Eigenschaften der reellen Zahlen aufgestellt und von demselben bewiesen, daß es für die den reellen Zahlen isomorphen Zahlensysteme typisch ist. Sodann werden, nach \textit{Hilbert}, die typischen Eigenschaften der reellen Zahlen in Gruppen geteilt, deren Abhängigkeit voneinander, sowie der Postulate innerhalb einzelner Gruppen studiert wird. Insbesondere wird die Unabhängigkeit des archimedischen Postulats einfacher als bei \textit{Hilbert} gezeigt, es wird die Nichtexistenz archimedischer Zahlen mit nicht vertauschbarer Addition und Multiplikation gezeigt; endlich werden einfache interessante Beispiele \textit{Desargues}scher Zahlensysteme gegeben. Diese letzten Untersuchungen werden in einer neueren Arbeit des Verf. (Berichte der Krakauer Akademie, April 1913) fortgesetzt.