Sulla totalità dei numeri primi inferiori ad un limite assegnato. (Q1479930)

Die Funktion \[ \varPhi(x) = \sin^2\biggl(\dfrac{\varGamma(x)+1}{x}\pi \biggr)+\sin^2 \pi x \] ist nur 0, wenn \(x\) eine Primzahl ist. Integriert man in \[ \dfrac{1}{2\pi i}\int\dfrac{\varPhi'(x)}{\varPhi (x)}dx \] genügend nahe um die Strecke \((1n)\) der reellen Achse, so erhält man die Anzahl der Primzahlen \(\leqq n\). Ist \(\theta (n)\) die Anzahl der Teiler von \(n\) und \[ \varLambda(x)=\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{x^2}{1-x^2}+\dfrac{x^3}{1-x^3}+\cdots \] die \textit{Lambert}sche Reihe, so ist \[ \theta(n)=\biggl(\dfrac{\varLambda^{(n)}(x)}{\underline{|n}}\biggr)_{x=0} \] Setzt man \[ A(x, n)=\dfrac{\sin \pi \biggl(\dfrac{\varLambda^{(n)}(x)}{\underline{|n}}-2\biggr)} {\pi \biggl(\dfrac{\varLambda^{(n)}(x)}{\underline{|n}}-2\biggr)}, \quad\prod (x, m)=\sum ^m_{n=1}A(x, n), \] so ist \(A(0, n)\) 1 oder Null, je nachdem \(x\) eine Primzahl ist oder nicht. \(\prod (0, m)\) ist also ebenfalls die Anzahl der Primzahlen \(\leqq m\).