The \textit{Pell} equation. (Q1479936)

Der Verf. gibt eine geschichtliche Darstellung der Arbeiten über die \textit{Pell}sche Gleichung. Er beginnt bei Griechen und Indern und zeigt, wie deren Annäherungswerte der Quadratwurzeln ganzer Zahlen auch immer Lösungen der entsprechenden \textit{Pell}schen Gleichung waren. Zudem werden die indischen Regeln zur Auflösung der \textit{Pell}schen Gleichung ausführlich besprochen. Aus der Zeit des Mittelalters wird vor allem die Problemstellung durch \textit{Fermat} und die \textit{Wallis}sche Lösung hervorgehoben. \textit{Euler} zeigte den Zusammenhang mit der Kettenbruchentwicklung an, gab aber keinen Existenzbeweis. Erst \textit{Lagrange} blieb es vorbehalten, das Problem völlig zu erledigen und alle Lösungen anzugeben. Bei \textit{Gauß} entsprang die Theorie den Problemen der binären quadratischen Formen. \textit{Dirichlet} behandelte das Problem, wann die Gleichung \(x^2 - Ay^2 = -1\) lösbar ist. Ferner gab er an, wie die Lösungen mit Hülfe der Einheitswurzeln zu berechnen sind; letzteres ist von \textit{Kronecker} ausgedehnt worden auf den Fall der singulären elliptischen Modulfunktionen. In neuerer Zeit geben die Lösungen der \textit{Pell}schen Gleichungen die Einheiten der reellen quadratischen Körper. Der Verf. gibt eine vollständige Aufzählung aller bisherigen Tabellen von Fundamentallösungen der \textit{Pell}schen Gleichung. Der Canon Pellianus von \textit{Degen} enthält die Lösungen aller Determinanten von 1 bis 1000. Im Jahre 1893 hat die British Association für alle Zahlen von 1000 bis 1500 die Werte veröffentlicht. Das vorliegende Werk enthält die Lösungen für 1501 bis 1700. Dieser Tabelle folgt ein Verzeichnis und eine kurze Besprechung aller dem Verfasser bekannt gewordenen Arbeiten über die \textit{Pell}sche Gleichung. Die Aufzählung darf keinen Anspruch auf Vollständigkeit erheben. Zum Schluß gibt der Verf. die Kettenbruchentwicklung von \(\sqrt a\), für alle Zahlen \(a\) von 1501 bis 2012.