Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen. (Q1479981)

Der Verf. beweist zunächst ein Theorem über die Dirichletsche Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty\dfrac{c_n}{n^s} = Z(s). \] Ist nämlich \(c_n =O(n^{\alpha +\varepsilon})\) für jedes \(\varepsilon > 0\), und werden über die \(\tau_n\) noch verschiedene weitere Annahmen gemacht, so ist für jedes \(\varepsilon >0\): \[ \sum _{r=1}^\infty c_n=R(x) + O\biggl(x^{(\alpha+1)\tfrac{2\eta -1}{2\eta+1}+ \varepsilon}\biggr), \] wo \(R(x)\) die Summe der Residuen der Funktion: \[ \dfrac{x^s}{s}Z(s) \] für alle etwaigen Pole von \(\dfrac{Z(s)}{s}\) im Streifen \[ (\alpha + 1)\dfrac{2\eta-1}{2\eta+1}<\sigma \leqq \alpha +1\qquad (\sigma = \text{reeller Teil von} \;s) \] bezeichnet. Als Anwendungen ergeben sich folgende Resultate: 1. Kurzer Beweis der bekannten Formeln: \[ \begin{aligned} &\tau (x) = x \lg x + (2C - 1)x+O(x^{\frac13+\varepsilon}) \quad(\varepsilon>0),\\ &\tau_k(x) = x(b_{k-1}\lg ^{k-1}x + \cdots + b_0) + O\biggl(x^{\tfrac{k-1}{k+1}+\varepsilon}\biggr)\quad (\varepsilon >0) \end{aligned} \] für jedes \(\varepsilon > 0\). Dabei ist, wenn \(T_k (n)\) die Anzahl der Zerlegungen von \(n\) in \(k\) Faktoren, \(T(n)\) die Anzahl der Teiler von \(n\) bedeutet: \[ \tau_k(x)= \sum _{n=1}^xT_k(n),\quad \tau (x)= \sum ^x_{n=1}T(n). \] Die erste Formel stammt von \textit{Pfeiffer} (vgl. das folgende Referat), die zweite ist gegenüber der Piltzschen Formel verschärft. 2. Ist \(\chi_1(n)\) ein Charakter (mod. \(k_1\)), \(\chi (n_2)\) ein solcher \(\pmod{k_2}\) und \[ L_1(s)=\sum _{n=1}^\infty \dfrac{\chi_1(n)}{n^s}, \quad L_2(s)=\sum ^\infty _{n=1} \dfrac{\chi_2(n)}{n^s}, \] so setze man \[ L_1(s)L_2(s)=\sum^\infty _{n=1}\dfrac{c_n}{n^s}. \] Dann ist \[ \sum^x_{n=1}c_n=O(x^{\frac13+\varepsilon}) \quad\text{oder } = Ax + O(x^{\frac13+\varepsilon}) \text{ oder } = A_1x\lg x + Ax + O(x^{\frac13+\varepsilon}) \] für jedes \(\varepsilon > 0\), je nachdem keiner, einer oder beide Charaktere Hauptcharaktere sind. 3. Die Anzahl der Ideale eines quadratischen Körpers, deren Norm \(\le x\) ist, ist gleich \[ \alpha x + O (x^{\frac13 +\varepsilon}), \;\;\alpha = \sum^\infty _{n=1} \biggl( \dfrac{D}{n}\biggr)\dfrac{1}{n}, \] für jedes \(\varepsilon > 0\), wo \(D\) die Diskriminante des Körpers ist. Entsprechend ist im Körper der \(m\)-ten Einheitswurzeln, wenn \(h=\varphi (m),\) diese Anzahl gleich \[ \alpha x + O\biggl(x^{1-\frac{2}{h+1}+\varepsilon}\biggr). \] 4. Es seien \(a, b, c\) ganz, \(- \varDelta = b^2 - ac < 0, \;a > 0\). Dann ist die Anzahl der Gitterpunkte des Gebietes \(au^2 + 2buv + cv^2\leqq x\) gleich: \[ \dfrac{\pi}{\sqrt{\varDelta}}x+O(x^{\frac13+\varepsilon}). \] Der Satz wird auf \(k\)-dimensionale Eilipsoide als Gebiete verallgemeinert. Speziell wird für die drei- und vierdimensionale Kugel die Betrachtung durchgeführt.