Über die Grundbegriffe der Kollektivmaßlehre. (Q1480057)

Die Darstellung unterscheidet sich in ihrem Gedankengange von den \textit{Bruns}schen Aufstellungen, nicht aber von deren Ergebnis. Verf. faßt zunächst ``einige analytische Betrachtungen zusammen, aus denen die \(\varphi\)-Reihe als ein -- übrigens bekannter -- Sonderfall der sogenannten \textit{Sturm-Liouville}schen Entwicklungen nach Normalfunktionen hervorgeht. Die einfachen und sehr allgemeinen Sätze ersetzen vollständig die recht mühsamen von \textit{Brun}s angestellten Untersuchungen, die überdies nicht zum vollen Ziele, dem Existenzbeweis für die Entwicklung, geführt haben. Im weiteren gestattet die Schlußbemerkung des ersten Teiles, die \(\varphi\)-Reihe in die Kollektivmaßlehre auf eine gewisse natürliche Weise einzuführen, statt ihre Anwendung einfach apodiktisch hinzustellen. Verf. geht hierbei von der Vorstellung aus, daß es irgendeine ideale Verteilung \(\psi(x)\) gibt, mit der nicht nur die unmittelbar gegebene wirkliche Verteilung \(f(x)\), sondern auch die Abweichung zwischen der Wirklichkeit und dem Idealfall zu vergleichen ist. Nimmt man dann die Voraussetzung hinzu, daß die so durch sukzessive Approximationen gebildete Entwicklung nach ``Normalfunktionen'' fortschreitet, so erhält man für \(\psi(x)\) die \textit{Gauß}sche Funktion und für die Entwicklung die \textit{Bruns}sche Reihe. Daneben kann man in der \textit{Gauß}schen Theorie noch eine unmittelbare Begründung für die Wahl der Exponentialfunktion \(e^{-x^2}\) zur Vergleichsfunktion erblicken. Auf die Beziehungen zum \textit{Bernoulli}schen Gesetz, die sich dann leicht ergeben, ist nicht weiter eingegangen.''