Sur quelques propriétés des séries à termes positifs. (Q1480095)

Ist \(\sum u_n\) eine beliebige konvergente Reihe mit positiven Gliedern, so kann man bekanntlich stets noch monoton gegen \(+\infty \) wachsende Zahlenfolgen \(w_n\) angeben, so daß auch \(\sum u_nw_n\) noch konvergiert. Die Frage, wie stark dabei \(w_n\) ins Unendliche wachsen darf, ohne daß die Konvergenz verloren geht, oder wie stark \(w_n\) mindestens wachsen muß, damit Divergenz eintritt, wird durch den folgenden interessanten (sich an ein bekanntes \textit{Cauchy}sches Konvergenzkriterium anlehnenden) Satz zum Teil beantwortet: Ist \(\varphi(x)\) eine positive, für \(a\geqq x>0\) definierte, mit \(1\!/x\) ins Unendliche wachsende Funktion, so ist, je nachdem \(\underset{0\hfill}{\int^a}\varphi(x)\,dx\) einen Sinn hat oder nicht, \(\sum u_n\varphi(r_n-1)\) konvergent, bzw. \(\sum u_n\varphi(r_n)\) divergent. Dabei bedeutet \(r_n\) den Rest \(u_{n+1}+u_{n+2}+\dots\). Im Wortlaut dieses Satzes darf, ohne seine Allgemeingültigkeit zu zerstören, weder \(r_{n-1}\) durch \(r_n\), noch \(r_n\) durch \(r_{n-1}\) ersetzt werden. Ein fast genau analoger Satz gilt für divergente Reihen mit positiven Gliedern. Für \[ \varphi(x)=x^{-\frac{1}{2}}, x^{-1+\alpha}, x^{-1} \biggl(\log \frac{1}{x}\biggr)^{-1-\alpha},\dots (\alpha>0) \] erhält man interessante, zum Teil neue Spezialfälle.