Sur les critères de convergence de première et de seconde espèce dans les séries à termes positifs. (Q1480096)

Ein (nicht unbekannter) Zusammenhang zwischen den Kriterien erster Art, bei denen nur ein Glied der Reihe benutzt wird, und denen zweiter Art, die zwei konsekutive Glieder benutzen, wird dargestellt: Haben lim\; inf. und lim\; sup. der Folge \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) die Werte \(\lambda'\) und \(\lambda''\), diejenigen der Folge \(\root n\of{u_n}\) die Werte \(\mu'\) und \(\mu''\), so ist stets \(\lambda'\leqq \mu'\leqq \mu''\leqq \lambda''\). Liefert also das Kriterium zweiter Art eine Entscheidung, so liefert sie sicher auch das Kriterium erster Art. Genau Gleiches gilt von den bei den weiteren zusammengehörigen Kriterien erster und zweiter Art auftretenden Folgen \begin{gather*} \frac{\log(1:u_n)}{\log n}\;\text{und}\;n\,\biggl(\frac{u_n} {u_{n+1}}-1\biggr), \tag{1} \\ \frac{\log(1:nu_n)}{\log\log n}\;\text{und}\;n\log n \biggl(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1-\frac{1}{n}\biggr),\;\text{usw.} \tag{2} \end{gather*} Diese Sätze sind eine fast unmittelbare Folge der Tatsache, daß die Unbestimmtheitsgrenzen einer beliebigen Folge \((a_n)\) diejenigen der Folge \[ \frac{\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2+\dots +\alpha_n a_n}{\alpha_1+\alpha_2+\dots \alpha_n} \] einschließen, wenn \(\alpha_n>0\) und \(\sum\alpha_n\) divergent.