The relations between Borel's and Cesàro's methods of summation. (Q1480100)

Die verschiedenen Summationsmethoden divergenter Reihen (Euler, Hölder, Cesàro, Borel, Riesz) haben alle einen beschränkten Anwendungsbereich: Ist eine Reihe \(\sum a_n\) gar zu divergent, so versagt die Methode. Bei der Cesàroschen z. B. muß \(\vert a_n\vert<n^k\), bei der Borelschen \(\sum \dfrac{a_nx^n}{n!}\) beständig konvergent sein, usw. Erst in neuerer Zeit wurde bemerkt, daß auch die Feinheit der Methoden begrenzt ist, d. h. daß eine summierbare Reihe \(\sum a_n\) sogar im gewöhnlichen Sinne konvergent ist, wenn die \(a_n\) unterhalb gewisser Schranken liegen. So weiß man, daß eine nach Cesàro summierbare Reihe sicher konvergiert, wenn \(na_n\to 0\). In einer früheren Arbeit [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 8, 301--320 (1910; JFM 41.0278.02)] hatte \textit{G. H. Hardy} gezeigt, daß schon \(\vert na_n\vert<K\) dazu ausreicht. Ähnliche Sätze werden in der vorliegenden Arbeit für die Borelsche Methode bewiesen; als wichtigster der Satz: 1. Ist \(\sum a_n\) summierbar (\(B\)) und \(\sqrt n a_n\to0\), so ist \(\sum a_n\) sogar konvergent, Der Beweis ist so allgemein gehalten, daß sich sogleich eine ganze Reihe weiterer Sätze ergibt, die sämtlich von der Form sind: ``Ist \(\sum a_n\) summierbar (\(B\)), und erfüllen die \(a_n\) gewisse Bedingungen bezüglich ihrer Größenordnung, so ist \(\sum a_n\) sogar summierbar (\(C\)).'' Die Anwendung dieser Sätze auf die Reihe \(\sum n^{-b}e^{in^a}\) führt zu interessanten Einzelresultaten. Die Frage, ob der erste der genannten Sätze noch unter der geringeren Voraussetzung \(\vert\sqrt n a_n\vert <K\) seine Gültigkeit behält, bleibt offen.