Über die Konvergenz einer \textit{Fourier}schen Reihe. (Q1480119)

Die \textit{Riemann}sche Funktion \((x)\), die \(= 0\) ist für \(x = \frac 12\pi\) und sonst so beschaffen ist, daß \(x - (x)\) die \textit{zunächst} bei \(x\) gelegene ganze Zahl ergibt, läßt sich bekanntlich durch die stets konvergente \textit{Fourier}sche Reihe \[ (x) = \frac{1}{\pi} \sum_{\lambda=1}^\infty \frac{(-1)^{\lambda+1} \sin\, 2\lambda \pi x}{\lambda} \] darstellen. -- Die überall absolut konvergente Reihe \[ S(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(kx)}{k^2} \] stellt eine in jedem Intervall unendlich oft unstetige Funktion dar. Ordnet man nun die doppelte Reihe \[ S(x) = \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \sum_{\lambda=1}^\infty \frac{(-1)^{\lambda+1} 2k \lambda \pi x}{\lambda} \] in die einfache trigonometrische Reihe: \[ T(x) = \sum_{m=1}^\infty b_m \frac{\sin\, 2mx}{m^2} \text{ mit } b_m = \sum_{\lambda| m} (-1)^{\lambda+1} \lambda, \] so ergeben sich die Fragen: 1. Ist auch die neue Reihe für jedes \(x\) konvergent? 2. Ist \(T (x) = S (x)\)? Beide Fragen werden bejaht, und hierfür werden ziemlich einfache Beweise gegeben.