Sur l'absolue convergence des séries trigonométriques. (Q1480120)

Es sei \(\sum u_n\) eine trigonometrische Reihe mit dem allgemeinen Gliede \[ u_n = a_n \cos\, n\theta + b_n \sin\, n\theta = \varrho_n \cos\,(n\theta + \alpha_n), \quad \varrho_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}. \] Welcher Art kann die Menge \(E\) der Punkte sein, für die \(\sum u_n\) absolut konvergiert? Bei der Untersuchung dieser Frage ergibt sich: 1. \(E\) kann ein Intervall nur dann enthalten, allgemeiner: kann einen von 0 verschiedenen Inhalt nur dann haben, wenn \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) absolut konvergent ist und also \(\sum u_n\) überall absolut konvergiert. D. h. also: 2. Wenn eine der Reihen \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) nicht absolut konvergiert, so kann \(\sum |u_n|\) höchstens in einer Punktmenge vom Maße 0 absolut konvergieren.