Quelques conséquences de l'hypothèse que la fonction \(\zeta(s)\) de \textit{Riemann} n'a pas de zéros dans le demiplan \(\mathfrak R(s) > \frac 12\). (Q1480136)

Es werden durch scharfsinnige Schlüsse aus der \textit{Riemann}schen Vermutung wichtige Folgerungen gezogen: 1. Es wäre \[ \log \zeta(\sigma + t_i) = O[(\log t)^{2(1-\sigma)+\varepsilon}] = O(t^{\varepsilon^\prime}) \] und dies sogar gleichmäßig für \(\frac 12 + \delta \leqq \sigma \leqq 1\). Daraus ergibt sich insbesondere die sehr wichtige Konsequenz: 2. Es würde \(\sum \mu(n) \cdot n^{-s} = 1/\zeta(s)\) für \(\sigma > \frac 12\) konvergieren. Endlich der von der etwaigen Richtigkeit der \textit{Riemann}schen Vermutung unabhängige Satz: 3. Es hat entweder \(\zeta(s)\) selbst oder \(\zeta^\prime(s)\) unendlich viele Nullstellen in der Halbebene \(\sigma > 1 - \delta\). Die Hoffnung, durch diesen letzten Satz über die \textit{Riemann}sche Vermutung zu entscheiden, ist dadurch vereitelt, daß \textit{Bohr} (s. das nachstehende Referat) bewies, daß \(\zeta^\prime (s)\) in der angegebenen Halbebene (sogar für \(\sigma > 1\)) tatsächlich unendlich viele Nullstellen besitzt.