On question 330 of Prof. \textit{Sanjána}. (Q1480171)

Die Frage bezog sich auf die Summe \[ \psi_n = \frac{1}{1^n} + \frac{1}{2\cdot 3^n} + \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4} \cdot \frac{1}{5^n} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6} \cdot \frac{1}{7^n} + \cdots. \] Indem \[ \begin{multlined} f(p) = \frac{1}{1+p} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3+p} + \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4} \cdot \frac{1}{5+p} + \cdots \\ = \int_0^1 \frac{x^p}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx = \frac{\pi}{2^{p+1}} \varGamma (p+1)\left( \varGamma\left(\frac{p+2}{2}\right)\right)^2 \end{multlined} \] gemäß diesen beiden Darstellungen nach Potenzen von \(p\) entwickelt wird, ergibt sich rekursiv \[ (n + 1) \psi_{n+1} = \sigma_1\psi_n + \sigma_2\psi_{n-1} + \cdots + \sigma_n\psi_1 \quad (n = 1, 2, \dots), \] wo \[ \sigma_n = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k^n} \] gesetzt ist. Da \(\psi_1 = \dfrac{\pi}{2}\), so lassen sich alle \(\psi_n\) mit Hülfe der \(\sigma_n\) und der Zahl \(\pi\) rational ausdrücken.