Calcul de la primitive de la fonction dérivée la plus générale. (Q1480217)

Eine in \((a, b)\) beschränkte Funktion \(f(x)\) ist im \textit{Riemann}schen Sinne integrierbar, wenn ihre etwaigen Unstetigkeitspunkte eine Menge vom Maße Null bilden. Eine in \((a, b)\) erklärte, nicht notwendig beschränkte Funktion \(f(x)\) ist daselbst im Sinne von \textit{Lebesgue} integrierbar, wenn sie meßbar und summierbar (sommable) ist. Die Funktion \( F(x) = \int_a^x f(x)\, dx\) ist in beiden Fällen stetig; außer höchstens in einer Menge von Punkten vom Maße Null ist ferner \(\dfrac{dF(x)}{dx} = f(x)\). Nun gibt es aber Funktionen \(\varphi(x)\), die zwar die Ableitung einer anderen Funktion \(\varPhi(x)\) darstellen, \(\varphi(x) = \dfrac{d\varPhi(x)}{dx}\), jedoch weder im \textit{Riemann}schen, noch im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrierbar sind. Der Verf. gibt ein Verfahren an, welches in allen Fällen gestattet, von \(\dfrac{d\varPhi(x)}{dx}\) zu \(\varPhi(x)\) hinaufzusteigen, sofern \(\dfrac{d\varPhi(x)}{dx}\) endlich (jedoch nicht notwendig beschränkt) ist, und welches bei Funktionen, die im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrierbar sind, das \textit{Lebesgue}sche Integral liefert und daher eine Verallgemeinerung der \textit{Lebesgue}schen Integration darstellt. Wegen der Einzelheiten muß auf die Originalarbeiten verwiesen werden.