Oscillating Dirichlet's integrals, an essay in the ``Infinitärcalcül'' of Paul Du Bois-Reymond. (Q1480226)

Eine strenge Begründung des \textit{R. Du Bois-Reymond}schen Infinitärkalküls (der auf einen Vergleich des Wachstums von Funktionen abzielt) ist vom Verf. in einem unter den Cambridge Tracts erschienenen Büchlein und einem Aufsatz ``Properties of logarithmico-exponential functions'' [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 10, 54--90 (1911; JFM 42.0437.02)], gegeben worden, indem er sich dabei auf den natürlichen Kreis derjenigen Funktionen (``\(L\)-Funktionen'') beschränkte, die durch endlichmalige Anwendung algebraischer Prozesse und der transzendenten Operationen \(e^x\), \(\lg x\) entstehen. Du Bois-Reymond hatte bei seinen Untersuchungen hauptsächlich das Ziel im Auge, das asymptotische Verhalten des Dirichletschen Integrals \[ J(\lambda) = \int_0^a \frac{\sin \lambda x}{x} f(x)\, dx \quad \text{ für } \quad \lambda = \infty \] zu diskutieren, in dem Falle, wo die Funktion \(f(x)\) in der Nähe von \(x = 0\) oszilliert. Er nimmt insbesondere an, daß \(f(x)\) von der Form \(\rho(x) \cdot \begin{matrix}\cos \\ \sin\end{matrix} \sigma(x)\) ist, wo \(\rho\) und \(\sigma\) zwei monotone Funktionen bedeuten, von welchen die zweite für \(\lim x = 0\) gegen \(\infty\) konvergiert. Schon Du Bois-Reymond erkannte, daß man die drei Fälle unterscheiden muß, wo \(\sigma\) schwächer gegen \(\infty\) konvergiert als \(\lg \dfrac 1x\) (Fall A) oder genau so stark (Fall B) oder stärker (Fall C). Sind \(\rho\) und \(\sigma\) \(L\)-Funktionen im Sinne Hardys, so ist dies eine vollständige Disjunktion. Es gelingt Hardy in der vorliegenden Arbeit, die Fälle (A) und (B) vollständig zu erledigen. Es ist unmöglich, den Beweis, der deutlich zeigt, ein wie geschmeidiges Werkzeug man bei derlei Untersuchungen im Gebiet der \(L\)-Funktionen im Infinitärkalkül besitzt, hier auf knappem Raum zu reproduzieren. Wir wollen aber das Resultat angeben. Damit das Integral \(J\) überhaupt konvergiert, muß \(\lim_{x=\infty} x\rho(x) = 0\) sein. Wenn \(\rho\) gegen 0 konvergiert, ist auch asymptotisch \(\lim_{\lambda = \infty} J(\lambda) = 0\). Sonst aber ergibt sich sowohl im Falle (A), als im Falle (B) ein asymptotischer Ausdruck von der Form \(\text{Const.}\,J\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)\), wobei die Konstante sich aus dem infinitären Verhalten der Funktion \(\rho(x)\) mit Hülfe der Gammafunktion bestimmt. Eine Ausnahme bildet derjenige Unterfall von (A), in welchem \(\rho(x)\) stärker als \(\dfrac{1}{x^{1-\varepsilon}}\) gegen \(\infty\) konvergiert für jedes positive \(\varepsilon\)); dann nämlich wird \[ J(\lambda) \sim \lambda T\left(\frac 1{\lambda}\right), \quad \text{ wo } \quad T(x) = \int_0^x f(t)\, dt \] ist.