Notes on some points in the integral calculus. XXXIV. Absolutely convergent integrals of irregular types. (Q1480229)

``Die Integrale, deren Konvergenz ich in dieser Note betrachten will, sind von einem ganz anderen Schlage als die, welche ich in meinen früheren gleich betitelten Noten betrachtet habe (VIII, 31, 177-183; F. d. M. 32, 306 (JFM 32.0306.*), 1901. XXV, 39, 28-32; F. d. M. 40, 340 (JFM 40.0340.*), 1909). Sie haben andererseits etwas gemeinschaftlich mit denen, welche ich in meiner Note XIV zergliedert habe (33, 80-85; F. d. M. 34, 337 (JFM 34.0337.*), 1903), obschon diese durchaus nicht absolut konvergent, sondern nur Hauptwerte waren. Sie haben auch etwas gemeinsam mit gewissen Reihen, die ich anderswo behandelt habe (Lond. M. S. Proc. (2) 3, 441-460; F. d. M. 36, 474 (JFM 36.0474.*), 1905). Der Schlag des jetzt zu betrachtenden Integrals ist \[ \int^\infty \frac{\varphi(x) \, dx}{|\sin\, \pi x|^s |\sin\, a \pi x|^t}, \] wo \(a\) ein Parameter ist. Seine Konvergenz hängt von drei Faktoren ab: den Werten von \(s\) und \(t\), der arithmetischen Natur von \(a\), der Form von \(\varphi(x)\)''.