Theorems of oscillation for two linear differential equations of the second order with two parameters. (Q1480297)

Verf. stellt in der vorliegenden Arbeit ein \textit{Klein}sches Oszillationstheorem für zwei Differentialgleichungen mit zwei Parametern \[ \left\{ \begin{aligned} &(p_1u')'+q_1u+(\lambda A_{11}+\mu A_{12})u=0,\;p_1(x)>0,\\ &(p_2v')'+q_2v+(\lambda A_{21}+\mu A_{22})v=0,\;p_2(y)>0\\ \end{aligned} \right. \leqno(\text{A}) \] auf, worin \(p_1(x)\), \(q_1(x)\), \(A_{11}(x)\), \(A_{12}(x)\) und \(p_2(y)\), \(q_2(y)\), \(A_{21}(y)\), \(A_{22}(y)\) in ihren entsprechenden Intervallen als analytische Funktionen vorausgesetzt werden. Es handelt sich dabei um die Bedingungen für die Existenz von Wertepaaren der Parameter \(\lambda\), \(\mu\), für welche Lösungen \(u(x)\), \(v(y)\) existieren, die den Randbedingungen \(u(a_1)=u(b_1)=0\), \(v(a_2)=v(b_2)=0\) genügen und \(m\)-, bzw. \(n\)-mal in den Intervallen \(a_1b_1\), bzw. \(a_2b_2\) oszillieren. Für den Spezialfall \(q_1=q_2=0\) \(A_{12}>0\), \(A_{22}<0\) hat \textit{Hilbert} (Gött. Nachr. 1910, 6. Mitteilung) das bloße Existenzproblem der Lösungen der Gleichungen (A) durch Transformation derselben in eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung von elliptischem Typus gelöst, für \(q_1=q_2=0\), \(A_{12}>0\), \(A_{22}<0\), \(A_{11}>0\), \(A_{21}>0\) \textit{J. Yoshikawa} (Gött. Nachr. 1910; F. d. M. 41, 361 (JFM 41.0361.*)) auch das Oszillationstheorem bewiesen. -- Im \S~1 wird eine Gleichung zweiter Ordnung mit einem Parameter, im \S~2 eine solche mit zwei Parametern behandelt. Im \S~3 wird das Oszillationstheorem für die allgemeine sich selbst adjungierte Gleichung zweiter Ordnung mit einem oder zwei Parametern aufgestellt; insbesondere wird die Diskussion desselben für die Gleichung mit einem Parameter \((py')'+qy+\lambda ky=0\) auf den bisher nicht behandelten Fall ausgedehnt, daß \(q(x)\) wenigstens in einem Teil des Intervalls positiv ist und \(k(x)\) beide Vorzeichen annimmt. Im \S~4 endlich wird das Oszillationstheorem für zwei Gleichungen zweiter Ordnung mit zwei Parametern bewiesen: es werden notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz der Lösungen der allgemeinen Gleichungen (A) abgeleitet, welche gegebene Rand- und Oszillationsbedingungen erfüllen, und hinreichende Bedingungen für das Vorhandensein eines einzigen Lösungspaares.