Sur les systèmes linéaires, à deux inconnues, admettant une intégrale quadratique. (Q1480304)

Es liege vor das Differentialsystem: \[ \frac{dx}{dt}=a_{11}x+a_{12}y,\;\frac{dy}{dt}=a_{21}x+a_{22}y, \leqno(1) \] worin die Koeffizienten a beliebige Funktionen der unabhängigen Veränderlichen \(t\) bedeuten, welche für alle betrachteten Werte von \(t\) endlich und stetig sind; es sei ein quadratisches Integral bekannt: \[ f(x,y)=Ax^2+2Bxy+Cy^2=\text{const.}, \] worin \(A\), \(B\), \(C\) ebenfalls Funktionen von \(t\) sind, die sich wie die \(a\) verhalten. Verf. zeigt zunächst, daß in diesem Falle die Integration durch bloße Quadraturen erfolgt. Daraus ergibt sich dann bei Beschränkung auf das reelle Gebiet, daß, falls die Koeffizienten \(a\) sowie \(A\), \(B\), \(C\) periodische Funktionen sind und \(D\equiv AC-B^2\neq 0\), \(A\neq 0\) oder \(C\neq 0\) ist, die notwendige und hinreichende Bedingung für die Stabilität der Partikularlösung \(x=0\), \(y=0\) des Systems (1) in dem Verschwinden des Mittelwertes des reellen Teiles von \(\dfrac{\sqrt{-D}}{A}a_{21}\) oder \(\dfrac{\sqrt{-D}}{C}a_{12}\) besteht. In dem bekannten Falle \(D>0\) ist hiernach die Stabilität evident. -- Die Diskussion des Falles \(A=0\) oder \(C=0\) wird durch intermediäre Reduktion von \(f\) auf die kanonische Form mittels einer orthogonalen Transformation durchgeführt.