Zur Theorie der nicht linearen Differential- und Differenzengleichungen. (Q1480323)

Im J. für Math. 138, 1910 hat Verf. gezeigt, daß die in der Theorie der Differentialgleichungen so wirksame Methode der sukzessiven Annäherungen auch benutzt werden kann, um das Verhalten der Lösungen linearer Differenzengleichungen für große Werte der unabhängigen Veränderlichen zu untersuchen; diese Methode gestattet, wie in der vorliegenden Arbeit gezeigt wird, eine Übertragung auf nicht lineare Differenzengleichungen. Verf. betrachtet ein System von Differenzengleichungen von der Form \[ x^{-k}y_i(x+1)=G_i(x,y_1(x),\ldots,y_m(x))\qquad(i=1,\ldots,m), \leqno(\alpha) \] wo \(k\) gleich Null oder gleich einer ganzen positiven Zahl und \(G_i\) eine an der Stelle \(x=\infty\), \(y_1=0,\ldots,y_m=0\) verschwindende, in der Umgebung dieser Stelle reguläre Funktion von \(x\), \(y_1=y_1(x)\), \dots, \(y_m=y_m(x)\) ist; \(x\) durchläuft die Werte \(x_0\), \(x_0+1\), \(x_0+2\), \dots, wo \(x_0\) als reelle (ev. ganze) positive Zahl angenommen werden kann, während die übrigen Größen komplex sein dürfen. Diejenigen Lösungen \(y_1,\ldots,y_m\), für welche \(\lim\limits_{x=\infty}y_i=0\) (\(i=1,\ldots,m\)) ist, werden mittels sukzessiver Annäherung durch unendliche Reihen dargestellt, aus denen sich ihr Verhalten für große \(x\) ergibt. Diesen Untersuchungen über Differenzengleichungen entsprechen Untersuchungen über Systeme nicht linearer Differentialgleichungen von der Form \[ x^{-k}\frac{dy_i}{dx}=G(x,y_1,\ldots,y_m)\qquad(i=1,\ldots,m), \leqno(\beta) \] wo \(k\) und \(G_i\) dieselbe Bedeutung wie in (\(\alpha\)) haben; es handelt sich um das Verhalten der Lösungen \(y_1,\ldots,y_m\), für welche \(\lim\limits_{x=\infty}y_i=0\) ist, für große Werte von \(x\). Untersuchungen dieser Art für eine einzige nicht lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat Verf. bereits im J. für Math. 118 u. 119 und in Math. Ann. 51 geführt. Im ersten Abschnitt behandelt Verf. mittels sukzessiver Annäherungen die Lösungen des Differentialsystems (\(\beta\)) für große Werte von \(x\) oder, was auf dasselbe hinauskommt, die Lösungen des Systems \[ x^{k+1}\frac{dy_i}{dx}=G_i(x,y_1,\ldots,y_m)\qquad(i=1,\ldots,m), \] wo \(k\geqq 1\) eine ganze positive Zahl und \(G_i\) eine für \(x=0\), \(y_1=0\), \dots, \(y_m=0\) verschwindende, in der Umgebung dieser Stelle reguläre Funktion darstellt, für kleine reelle positive Werte von \(x\) (vgl. \textit{Bendixson}, Arkiv för Mat., Astr. och Fys. 5, Nr.~21, 1909 und \textit{E. Birkeland}, Kristiania Arch. 30, Nr.~1, 1909). Das Differenzengleichungssystem (\(\alpha\)) wird im zweiten Abschn. für \(k=0\) und im dritten Abschn. für \(k>0\) behandelt. Bemerkenswert ist die Zurückführung der Differenzengleichungen auf Summengleichungen, die der Zurückführung der Differentialgleichungen auf Integralgleichungen entspricht.