The general theory of linear \(q\)-difference equations. (Q1480327)

Mittels einer Transformation von der Form \(z=(m_1x+m_2)/(\mu_1x+\mu_2)\) kann das Funktionalgleichungssystem \[ H_i\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=\sum_{j=1}^n\lambda_{ij}(z)H_j(z)\qquad (i=1,2,\ldots,n) \] mit den \(n\) unbekannten Funktionen \(H(z),\ldots,H_n(z)\) in das Differenzengleichungssystem \[ G_i(x+1)=\sum_{j=1}^n\lambda_{ij}(x)G_j(x) \qquad (i=1,\ldots,n) \] oder in das System der ``\(q\)-Differenzengleichungen'' \[ G_i(qx)=\sum_{j=1}^n\lambda_{ij}(x)G_j(x) \qquad (i=1,\ldots,n) \] transformiert werden, je nachdem die Substitution \(z'=(az+b)/(cz+d)\) einen oder zwei Doppelpunkte besitzt. Da die wesentlichen allgemeinen Eigenschaften der Lösungen linearer Differenzengleichungen bekannt sind (vgl. \textit{Carmichael} und \textit{Birkhoff}, American M. S. Trans. 12), so beschäftigt sich die vorliegende Arbeit mit der Untersuchung der Existenz und der Eigenschaften der Lösungen linearer ``\(q\)-Differenzengleichungen''. Im \S~1 beweist Verf. für den Fall \(|q|\neq 1\) die Existenz zweier Fundamentalsysteme von Lösungen, von denen das eine im Unendlichen, das andere in der Umgebung von Null einen einfachen Charakter besitzt. Im \S~2 führt eine Untersuchung der Beziehungen zwischen diesen beiden Fundamentalsystemen zu einer Theorie, die der \textit{Birkhoff}schen Charakterisierung der Lösungen eines Differenzengleichungssystems (l. c. \S\S~5 u. 7) analog ist. Im \S~3 wird der Ausnahmefall \(|q|=1\) betrachtet: es wird eine Methode für die Aufstellung von Fundamentallösungssystemen in expliziter endlicher Form angegeben. Vgl. die Arbeiten von \textit{Jackson} (American J. 32, 305-314), \textit{Grévy} (Thèse, Paris 1894) und \textit{Leau} (Thèse, Paris 1897).