Bemerkungen zu dem Aufsatz des Herrn \textit{Neuberg}. (Q1480393)

Die drei Sätze, die \textit{Mehmke} dem Verfasser der ersten Arbeit mitgeteilt hat, sind folgende: 1. Die Halbierenden der inneren Winkel eines windschiefen Vierecks bilden einen Regelwurf (d. h. sind vier Strahlen einer Regelschar). -- Diese Eigenschaft haben auch die vier äußeren Halbierenden sowie zwei innere und zwei äußere. 2. Die Halbierenden der Winkel eines windschiefen Fünfecks sind fünf Strahlen einer bilinearen Kongruenz. 3. Die Halbierenden der Winkel eines windschiefen Sechsecks sind sechs Strahlen eines linearen Komplexes. -- In den Sätzen 2 und 3 kann man eine gerade Anzahl von inneren Halbierenden durch die entsprechenden äußeren ersetzen. Diese Sätze, die \textit{Neuberg} durch Rechnung beweist, werden von \textit{Mehmke} verblüffend einfach ohne Rechnung bewiesen. Da das Beweisprinzip allgemein interessant sein dürfte, sei es hier wiedergegeben: ``Man denke sich in jeder Seite eines einfachen räumlichen \(n\)--Ecks einen Stab von beliebiger Länge. Diese Stäbe, in fortlaufendem Sinn genommen, seien der Reihe nach mit \(S_1, S_2, \ldots , S_n\) bezeichnet. Die fraglichen Sätze folgen dann alle aus der Identität: \[ S_1 - S_1 + S_2 - S_2 + \ldots + S_n - S_n = 0. \tag{1} \] Denn faßt man zuerst die Glieder von (1) folgendermaßen zusammen: \[ (S_1 - S_2) + (S_2 - S_3) + \ldots + (S_n - S_1) = 0, \tag{2} \] und gibt man den Stäben \(S_i\) allen dieselbe Länge, so stellen in Gleichung (2) die Ausdrücke in den Klammern Stäbe in den inneren Winkelhalbierenden des \(n\)--Ecks vor; wenn aber \(n\) Stäbe linear abhängig sind, so gehören ihre Linien im Falle \(n = 3\) einem Strahlenbüschel an, im Fall \(n = 4\) einer Regelschar, im Fall \(n = 5\) einem Strahlennetz (einer linearen Kongruenz), im Fall \(n = 6\) einem Strahlengewinde (linearen Komplex); es ergibt sich also für \(n = 3\) der Satz über die inneren Winkelhalbierenden eines Dreiecks, und für \(n = 4, 5, 6\) erhält man als Verallgemeinerungen dieses Satzes die fraglichen von mir gefundenen Sätze. \(\ldots\) Natürlich kann man sich bei der ganzen Herleitung auch der Sprache der Mechanik bedienen, da Stäbe addiert werden, indem man sie wie Kräfte zusammensetzt, und einer Reihe von Stäben, deren Summe Null ist, Kräfte entsprechen, die sich im Gleichgewicht befinden.'' -- Auch die von \textit{Neuberg} ausgesprochenen Verallgemeinerungen der eingangs genannten Sätze werden von \textit{Mehmke} in einfachster Weise erledigt.