Sur les réseaux conjugués à invariants égaux d'une quadrique. (Q1480405)

Es werden die auf einer Fläche \(F_2\) zweiter Ordnung gelegenen konjugierten Netze mit gleichen Invarianten untersucht; es ist das ein besonderer Fall des allgemeinen, auf die \textit{Laplace}schen Gleichungen bezüglichen Problems, die eine Anzahl von Lösungen zulassen, die an eine quadratische und homogene Relation mit konstanten Koeffizienten gebunden sind. Die \(F_2\) sei dargestellt durch (1) \(x_1^2 + \ldots + x_4^2 = 0\); die Netzkurven seien \(u = konst., v = konst\). Es liegt dann eine \textit{Laplace}sche Gleichung mit gleichen Invarianten vor: (2) \(\dfrac{\partial^2 \vartheta}{\partial u \partial v} = h \vartheta\). Man kann die \(u, v\) so wählen, daß (3) \(\sum \left( \dfrac{\partial x_i}{\partial u} \right)^2 = 1\), \(\sum \left( \dfrac{\partial x_i}{\partial v} \right)^2 = -1\) wird. Nun lassen sich Funktionen \(m, a, b, k\) so bestimmen, daß die \(x_i\) die Gleichung befriedigen: (4) \(\dfrac{\partial^2 \vartheta}{\partial u^2} + m \dfrac{\partial^2 \vartheta}{\partial v^2} = a \dfrac{\partial \vartheta}{\partial u} + b \dfrac{\partial \vartheta}{\partial v} + k \vartheta\). Es zeigt sich, daß \(m = 1, a = 0, b = 0\), so daß sich (4) vereinfacht zu (4\('\)) \(\dfrac{\partial^2 \vartheta}{\partial u^2} + \dfrac{\partial^2 \vartheta}{\partial v^2} = k \vartheta\). Die Koordinaten eines Punktes \((x)\), der ein konjugiertes Netz \((u, v)\) mit gleichen Invarianten auf der \(F_2\) beschreibt, sind gemeinsame Lösungen von (1) und (4\('\)). Zugleich mit dem Netze \((x)\) ergeben sich so alle durch projektive Transformationen daraus hervorgehenden Netze. Nunmehr werden die Integrabilitätsbedingungen der Gleichungen (2) und (4\('\)) untersucht; es ergibt sich \(\dfrac{\partial k}{\partial u} = 2 \dfrac{\partial h}{\partial v}, \, \dfrac{\partial k}{\partial v} = 2 \dfrac{\partial h}{\partial u}\), so daß man setzen darf: (5) \(h = \varphi (u + v) - \psi (u - v), \, k = 2 \{ \varphi (u + v) + \psi (u - v) \}\). Damit stellt sich (2) als eine harmonische Gleichung heraus. Sodann wird eine Kongruenz (Strahlensystem) betrachtet, deren Developpable aus der \(F_2\) das Netz \((u, v)\) ausschneidet. Sind \(y, z\) die Brennpunkte des durch \(x\) gehenden Strahles und \(x'\) der vierte harmonische Punkt, so beschreibt \(x'\) ein konjugiertes Netz mit gleichen Invarianten. Die Kongruenz ist so zu bestimmen, daß das Netz \((x')\) (wie auch das Netz \((x)\)) auf der \(F_2\) liegt. Als Bedingung hierfür findet man (6) \(\sum y_i^2 - \mu \sum x_i y_i = 0\), wo \(\mu\) eine Lösung des integrabeln Systems ist: (7) \(\dfrac{\partial^2 \mu}{\partial u \partial v} = h \mu, \, \dfrac{\partial^2 \mu}{\partial u^2} + \dfrac{\partial^2 \mu}{\partial v^2} = (k - m) \mu\). Diese letztere Bedingung erweist sich aber nur als notwendig; es wird gezeigt, wie man sie zu einer hinreichenden ausgestalten kann. Das System liefert im ganzen \(\infty^3\) Lösungen, also ebensoviele der gesuchten Kongruenzen.