IV 32. Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik. (Q1480508)

Dieses Heft gehört zur Abteilung D: Mechanik der aus sehr zahlreichen diskreten Teilen bestehenden Systeme. ``Der vorliegende Artikel steht in enger Beziehung zu V 8: \textit{L. Boltzmann} und \textit{J. Nabl} [Kinetische Theorie der Materie. Enzyklop. d. math. Wissensch. V 1, 493--557 (1907; FM 38.0930.11)]. Beide Artikel beschäftigen sich mit der Anwendung der Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf das Studium der Bewegungen eines Molekülsystems. Während sich aber V 8 vornehmlich den physikalischen Resultaten zuwendet, handelt es sich hier um die begrifflichen Grundlagen des Verfahrens. Auf sie wurde die Aufmerksamkeit durch zahlreiche Aufsätze (seit 1876) gelenkt, in denen ein zentrales Theorem der kinetischen Gastheorie, \textit{Boltzmann}s \(H\)-Theorem, angegriffen wurde. Ausnahmslos im Anschluß an diese Angriffe und \textit{Boltzmann}s Erwiderungen haben sich die prinzipiellen Untersuchungen entwickelt, die bis jetzt über die Verknüpfung von Mechanik mit Wahrscheinlichkeitsrechnung vorliegen. Dementsprechend greift auch der folgende Bericht immer wieder auf jene Diskussion zurück.'' Inhaltsübersicht. Vorbemerkung. 1. Einleitung. I. Die ältere Fassung statistisch-mechanischer Untersuchungen (Kinetostatistik des Moleküls). 2. Die ersten, vorläufigen Wahrscheinlichkeitsansätze. 3. Die Gleichhäufigkeit anscheinend gleichberechtigter Vorkommnisse. a) Die Ansätze bei \textit{Clausius}. b) Der ''Stoßzahlansatz''. 4. Die Relativhäufigkeit nicht gleichberechtigter Vorkommnisse. a) Die qualitativen Ansätze und ersten Abschätzungen bei \textit{Clausius}. b) Die Aufstellung eines Geschwindigkeitsverteilungsgesetzes durch \textit{Maxwell}. c) Die Verallgemeinerung des \textit{Maxwell}schen Ansatzes durch \textit{Boltzmann}. 5. Ableitungsversuche der Häufigkeitsansätze zweiter Art aus denen erster Art. 6. Das \textit{Boltzmann}sche \(H\)-Theorem: Die kinetische Deutung einseitig verlaufender Prozesse. 7. Die Einwände gegen das Irreversibilitätsresultat. a) Der \textit{Loschmidt}sche Umkehreinwand. 8. Abschließende Bemerkung. II. Moderne Fassung statistisch-mechanischer Untersuchungen (Kinetostatistik des Gasmodells). 9. Mechanische Eigenschaften des Gasmodells. a) Das Gasmodell und seine Phase. b) Phasenraum des Gasmodells (\(\varGamma\)-Raum). c) \textit{Liouville}sches Theorem. d) Stationäre Dichtenverteilungen im \(\varGamma\)-Raum. 10. Das Gasmodell als ergodisches System. a) Ergodische mechanische Systeme. b) Ergodische Dichtenverteilungen im \(\varGamma\)-Raum. 11. Das mittlere Verhalten des Gasmodells für eine unbegrenzte Bewegungsdauer. a) Die \textit{Boltzmann}sche Untersuchung. b) Kritik und Bedeutung des \textit{Boltzmann}schen Resultates. 12. Mechanische Eigenschaften des Gasmodells: Fortsetzung. a) Der Phasenraum der Moleküle (\(\mu\)-Raum). Zustandsverteilung \(Z\) der Moleküle. b) Das einer Zustandsverteilung \(Z\) entsprechende Volumen des \(\varGamma\)-Raumes. c) Funktionen der Zustandsverteilung. d) Die Funktion \(H(Z)\). e) Die Symbole \(dH(Z)/dt\) und \(\Delta H(Z)/\Delta t\). 13. Das Vorherrschen der \textit{Maxwell-Boltzmann}schen Verteilung. 14. Die modifizierte Fassung des \(H\)-Theorems. a) Die Treppenkurve der \(H(Z)\)-Werte. b) Die \(H\)-Kurven. c) Der Büschel der \(H\)-Kurven. Seine Verdichtungskurve. d) Die Kurve des \(H\)-Theorems. 15. Der statistische Charakter kinetischer Deutungen. a) Zustandsverteilung und beobachtbare Daten. b) Determinationspostulat. \textit{Brown}sche Bewegung. 16. Rückblick auf den Umkehr- und Wiederkehreinwand. 17. Verhältnis der statistischen Auffassung zum Entropiesatz. 18. Die statistische Weiterbildung des Stoßzahlansatzes. Hypothese der molekularen Unordnung. a) \textit{Boltzmann}s Andeutungen. b) Verschärfte Determination der Zustandsverteilung. \textit{Jeans}-Gruppierung. c) Die Hypothese der molekularen Unordnung. III. Die ``statistische Mechanik'' von \textit{W. Gibbs}. 19. Das Axiomatisierungsproblem der Kinetostatistik. 20. Das Programm von \textit{W. Gibbs} in seiner ``statistischen Mechanik''. 21. Die Einführung gewisser spezieller stationärer Dichtenverteilungen im \(\varGamma\)-Raum (kanonische und mikrokanonische Verteilung). 22. Mittelwerts-Reduktionen bei kanonisch verteilten Systemscharen. a) Einige der \textit{Gibbs}schen Resultate. b) Beziehung zum \textit{Maxwell-Boltzmann}schen Verteilungsgesetz. c) Die \textit{Gibbs}sche Maßfunktion \(\sigma\) für die Abweichung von der kanonischen Verteilung. 23. Nichtstationäre Dichtenverteilungen im \(\varGamma\)-Raum. a) Das ``Zerrühren'' der nichtstationären Verteilungen. b) Das Verhalten spezieller nichtstationärer Gasmodellscharen. 24. Die Analogien zum beobachtbaren Verhalten warmer Körper. a) Aufstellung einiger Hülfsformeln. b) Das Gas im Wärmegleichgewicht und der Temperaturausgleich zweier verschieden warmen Körper. c) Die Temperatur als integrierender Nenner. Deutung der Entropie und Entropievermehrung bei irreversiblen Prozessen. d) Bemerkungen zur Interpretation der Entropie durch die \textit{Gibbs}sche Maßfunktion (\(-\varSigma\)). e) Die Monozykel-Analogien zur Thermodynamik. 25. Arbeiten, die sich an die \textit{Gibbs}sche Darstellung anschließen oder mit ihr verwandt sind. 26. Schluß. IV. Nachträge. 27. Zu Nr. 23. -28. Zu Nr. 24 u. 25. -- 29. Zu Nr. 26 -- 30. Zu Nr. 19.