Elliptic function path of a particle sliding on a smooth surface. (Q1480665)

Die Aufgabe, alle Rotationsflächen zu finden, bei denen die reibungslose Bewegung eines an sie gebundenen schweren Punktes auf elliptische Funktionen führt, hat durch die Dissertation von \textit{Salkowski} einen gewissen Abschluß gefunden (vgl. F. d. M. 35, 730 (JFM 35.0730.*), 1904). Der Verfasser verweist auf die bezüglichen Veröffentlichungen und setzt die Gleichungen der hierhergehörigen Flächen von höherem Grade als dem zweiten in der Folge an: \[ \begin{aligned} &(\text{I}) \;3cr^2=x^2(c-x), \;\;(\text{II}) \;2c^3x=2r^4+3c^2r^2,\\ &\\ &(\text{III}) \;c^3x=(r^2-cx-\frac {1}{4}c^2)^2, \;\;\text{(IV)} \;x=\dfrac {r^{n+1}}{(n+1)c^n} +\dfrac {c^n}{(n-1)r^{n-1}}(n=3), \end{aligned} \] wo überall \(r^2=y^2+z^2\) ist. Die Aufgabe, die er sich gestellt hat, spricht er so aus: ``Gegenstand dieser Abhandlung ist die Untersuchimg des elliptischen Integrals, das in der Lösung des dynamischen Problems auftritt, und die Erforschung des analytischen Feldes durch die Auswahl eines Parameters in dem zugehörigen dritten elliptischen Integral, der ein aliquoter Teil der Periode ist; es handelt sich somit darum, die \textit{Abel}sche Theorie des pseudoelliptischen Integrals zur Konstruktion der einfachsten Fälle der Bewegung zu benutzen und Erläuterungen durch ein Zahlenbeispiel zu geben, das sich leicht und genau durchführen läßt. Wir gehen nun daran, in dieser Art die Oberflächen (I), (II), (III) zu behandeln, und setzen damit die Erörterungen von \textit{Stäckel} fort.'' Ähnliche Untersuchungen hat der Verf. schon über andere Probleme angestellt, deren Lösungen mit Hülfe von elliptischen Funktionen bewerkstelligt werden (vgl. F. d. M. 35, 469 (JFM 35.0469.*), 1904). Nur besondere Liebhaber dürften es unternehmen, sich in die langwierigen Rechnungen zu vergraben, die der Verf. auch nur mit Unterstützung von \textit{Henderson} und fortwährender Benutzung von Ergebnissen seiner früheren Arbeiten hat vollenden können. Es ist aber anerkennenswert, daß solche mühevollen Rechnungen zum Nutzen der Wissenschaft durchgeführt sind.