Sopra la traslazione uniforme di un solido in un liquido indefinito. (Q1480735)

Man betrachte die gleichmäßige Translation eines Körpers in einer unbegrenzt ausgedehnten Flüssigkeit, wenn keine äußeren Kräfte einwirken. Es handelt sich also im wesentlichen um das \textit{Neumann}sche Problem, sodaß vom theoretischen Standpunkte aus die Frage als gelöst anzusehen ist. Es ist aber wünschenswert, auf gangbarem Wege Mittel zu haben, welche direkt zu endgültigen und erschöpfenden Ausdrücken für die Elemente der Bewegung führen. Für eine beliebige Gestalt des Körpers ist eine Lösung in diesem Sinne noch nicht versucht worden. Der Verf. beschränkt sich auf das ebene Problem (starres ebenes Profil, das sich in seiner Ebene bewegt). Der Gebrauch der Funktionentheorie gemäß der von \textit{Levi-Civita} gegebenen Methode (Scie e leggi di resistenza. Vgl. F. d. M. 38, 753 (JFM 38.0753.*), 1907), die sich schon bei manchen konkreten Anwendungen als fruchtbar erwiesen hat, ermöglicht es, das allgemeine Integral der fraglichen Bewegungen anzugeben. In präziser Art gelangt man zu dem Schluß, daß jeder analytischen Funktion \(\omega (\zeta )\) der komplexen Veränderlichen \(\zeta =\xi +i\eta \), die für \(|\zeta |>1\) regulär ist, die zur gleichförmigen Translation gehörige Flüssigkeitsbewegung eines gewissen starren Profils gehört. Das Profil wird damit a posteriori charakterisiert. Wenn das Problem der Bestimmung der Funktion \(\omega \) gestellt wird, die einem vorgegebenem Profil entspricht, so sind drei Fälle zu unterscheiden: a) Das Profil ist vieleckig (aus geradlinigen Strecken). b) Das Profil ist krummlinig mit gewöhnlichen (nicht Winkel-) Punkten. c) Das Profil ist gemischtlinig und zeigt eine endliche Zahl von Winkelpunkten. In dem ersten Fall gelingt es, den schließlichen Ausdruck von \(\omega \) anzugeben. In dem zweiten wird die Funktion durch eine Funktionalrelation charakterisiert zwischen dem reellen Teil und dem imaginären, wobei am Rande des Regularitätskreises \(|\zeta |=1\) sein muß. Der dritte Fall hängt offenbar von passenden Kombinationen der beiden ersten ab. Als besonders einfache Erläuterung krummliniger Profile wird das der kreisförmigen Profilform entsprechende Integral angegeben. Dabei werden wohlbekannte Ergebnisse wiedergefunden. Als ein Beispiel vieleckigen Profils wird der einfachste Fall erledigt, bei welchem das Profil aus einer geradlinigen, beliebig gegen die Richtung ihrer Bewegung geneigten Platte besteht. Ohne Schwierigkeit werden alle Charakteristiken der Flüssigkeitsbewegung ermittelt, insbesondere die Drucke, welche die Flüssigkeit auf die Elemente der Platte ausübt. Diese Drucke kommen bekanntlich auf ein Kräftepaar zurück (vgl. Ven. Ist, Atti 69, 427-445; F. d. M. 41, 823 (JFM 41.0823.*), 1910). Dasselbe ist Null, wenn die Platte mit der Richtung der Bewegung einen Winkel 0 oder \(\frac {1}{2}\pi \) einschließt, sonst aber nicht, wie übrigens aus den alten Versuchen von \textit{Magnus} bekannt ist.