Sur les équations aux dérivées fonctionnelles et leur application à la physique mathématique. (Q1480784)

Anknüpfend an seine im vorigen Jahre veröffentlichte Thèse, von der im Jahrbuch nur der Titel angeführt ist (F. d. M. 42, 385 (JFM 42.0385.*), 1911), reproduziert und erweitert der Verf. verschiedene Ergebnisse dieser Abhandlung. Das Ziel seiner Untersuchung ist folgendes: Falls man die \textit{Green}sche Funktion für ein bestimmtes ebenes Gebiet kennt, durch Variation der Grenzkurve daraus den Wert der \textit{Green}schen Funktion für ein anderes Gebiet abzuleiten. Es ist also, etwas allgemeiner gefaßt, die Änderung \(\delta\boldsymbol\varPhi\) einer Funktion \(\boldsymbol\varPhi\) zu untersuchen, die dadurch entsteht, daß die Grenzkurve \(C\) des Gebiets, für das \(\boldsymbol\varPhi\) bekannt ist, in eine andere, unendlich nahe übergeht, und zwar sei an der normale Abstand der neuen von der alten Kurve. \(\delta\boldsymbol\varPhi\) hat dann folgende Form: \[ \delta\boldsymbol\varPhi=\int\limits_C\boldsymbol\varPhi_1(s)\delta n ds, \tag{1} \] wozu unter Umständen noch Glieder von der Form \(A_0\delta n_0+A_1\delta n_0+\cdots\) hinzukommen, wenn ein Punkt \(M_0\) von \(C\) eine besondere Rolle für \(\boldsymbol\varPhi\) spielt. Falls \(\boldsymbol\varPhi_1\) von der Funktion \(\boldsymbol\varPhi\) selbst abhängt, ist (1) ``eine Gleichung mit funktionellen Ableitungen'' (aux dérivées fonctionnelles), aus der \(\boldsymbol\varPhi\) zu bestimmen ist mit der Nebenbedingung, daß \(\boldsymbol\varPhi\) den Wert \(\boldsymbol\varPhi_0\) für eine bestimmte Grenzkurve \(C_0\) annimmt. Die Gleichung (1) ist nicht immer lösbar, sie ist in dieser Hinsicht den totalen Differentialgleichungen analog. Damit eine Lösung existiert, muß \(\boldsymbol\varPhi\) gewissen Bedingungen genügen, die im ersten Abschnitt der Arbeit entwickelt werden. An einem besonders wichtigen Falle wird gezeigt. daß die fraglichen Bedingungen nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend sind. Im zweiten Abschnitt wird speziell die \textit{Green}sche Funktion zweiter Art (zweite \textit{Green}sche Funktion) untersucht, die bei der Lösung der Gleichung \(\varDelta\varDelta u=0\) dieselbe Rolle spielt, wie die erste \textit{Green}sche Funktion für die \textit{Laplace}sche Gleichung. (Hier wird also die Bezeichnung ``zweite \textit{Green}sche Funktion'' in ganz anderem Sinne gebraucht als in der Abhandlung von \textit{E. R. Neumann} über die im vorangehenden Referat berichtet ist.) Ist \(G_B^A\) diese zweite \textit{Green}sche Funktion, so bilde man daraus die andere \[ \boldsymbol\varPsi_B^A=\varDelta_A\varDelta_B G_B^A. \] Dann wird bei Variation der Randkurve \(C\) \[ \delta\boldsymbol\varPsi_B^A=\int\limits_C \varPsi_M^A\boldsymbol\varPsi_B^M \delta nds \tag{18} \] (\(M\) ein Punkt von \(C\)). Obwohl diese Gleichung zu derjenigen Klasse von Gleichungen mit funktionellen Ableitungen gehört, die stets lösbar sind, kann man aus ihr allein \(\boldsymbol\varPsi\) nicht ableiten, da es eine Lösung dieser Gleichung gibt, die auf einer irgendwie gegebenen Kurve beliebig gegebene Werte annimmt. Ferner gilt Gleichung (18) nur für den Fall, daß \(A\) und \(B\) innere Punkte sind; liegt einer von ihnen auf der Randkurve, so verliert die rechte Seite von (18) ihren Sinn. Daher wird noch die weitere Eigenschaft von \(\boldsymbol\varPsi\) herangezogen, daß bei Verschiebung der aus den Punkten \(A\) und \(B\) und der Randkurve gebildeten Figur parallel den Achsen \(x\) oder \(y\), desgleichen bei ihrer Drehung um den Anfangspunkt die Gesamtänderung von \(\boldsymbol\varPsi\) verschwindet, während beim Übergang der Figur in eine ähnliche mit dem Anfangspunkt als Ähnlichkeitspunkt \(\boldsymbol\varPsi\) übergeht in \(\dfrac1{\lambda^2}\boldsymbol\varPsi\), falls \(\lambda\) das Ähnlichkeitsverhältnis ist. Das liefert vier Bedingungen für \(\boldsymbol\varPsi\), aus denen nach Elimination der normalen Ableitungen von \(\boldsymbol\varPsi\) in den Punkten \(A\), \(B\) zwei andere folgen, die nur die tangentialen Ableitungen enthalten. Für den Kreis genügen diese Gleichungen zur Bestimmung von \(\boldsymbol\varPsi\), zunächst für die Randkurve selbst, dann für Punkte in der Nähe des Randes und weiter allgemein. Für andere Kurven aber kann man mit jenen Gleichungen, die die Form nicht linearer Integralgleichungen haben, nichts anfangen, so daß im Grunde die gestellte Aufgabe nur auf eine andere, nicht lösbare reduziert ist. Zu ähnlichen Resultaten gelangt der dritte Abschnitt der Arbeit, der diejenigen Gleichungen mit funktionellen Ableitungen betrifft, auf die die erste und die zweite Randwertaufgabe der Potentialtheorie führen.