Sur la fonction de \textit{Green} ordinaire et la fonction de \textit{Green} d' ordre deux relatives au cylindre de révolution. (Q1480786)

An Stelle der \textit{Green}schen Funktion \(g_B^A\) wird die andere: \[ \boldsymbol\varPsi_B^A=-\frac1{4\pi}\frac{d^2g_B^A}{dn_Adn_B} \] betrachtet, worin für Punkte \(A\), \(B\) der Oberfläche \(n\) die Flächennormale bezeichnet, während für innere Punkte \(A\), \(B\) für \(n_A\), \(n_B\) irgendwelche Richtungen zu wählen sind. Zur Berechnung von \(\boldsymbol\varPsi\) für eine beliebige Oberfläche \(S\) muß man die Änderung betrachten, die \(\boldsymbol\varPsi\) erfährt, wenn man die aus \(A\), \(B\), \(S\) gebildete Figur durch eine unendlich nahe ähnliche ersetzt. Die Änderung von \(\boldsymbol\varPsi\), die durch alleinige Änderung der Oberfläche entsteht, ergibt sich aus der \textit{Hadamard}schen Formel: \[ \delta\boldsymbol\varPsi_B^A= \iint\limits_S\boldsymbol\varPsi_M^A\boldsymbol\varPsi_B^M \delta n ds. \] Darin ist \(\delta_n\) der normale Abstand der Fläche \(S\) von der geänderten Fläche, \(M\) ist ein Punkt von \(S\), und die Integration ist über \(S\) zu erstrecken. Addiert man dazu die Änderung, die \(\boldsymbol\varPsi\) erfährt, wenn man bei festgehaltener Fläche \(S\) die Lage der Punkte \(A\) und \(B\) ändert, so hat man einen Ausdruck für die gesamte Änderung von \(\boldsymbol\varPsi\). Ein zweiter Ausdruck für diese Änderung ergibt sich, wenn man beachtet, daß \(\boldsymbol\varPsi_B^A\) eine homogene Funktion der Ordnung \(- 3\) ist. Die Gleichsetzung beider Ausdrücke ergibt gewisse Integralgleichungen, die die Werte von \(\boldsymbol\varPsi_B^A\) für Punkte der Oberfläche sowie ihre Ableitungen nach den Normalen von \(A\) und \(B\) enthalten. Solcher Relationen kann man im allgemeinen sieben aufstellen, von denen aber beim Rotationszylinder vier identisch erfüllt werden. Von den übrig bleibenden drei Relationen wird nur eine benutzt; sie lautet, wenn man \(\boldsymbol\varPsi_B^A=\boldsymbol\varPsi(\boldsymbol\vartheta,z)\) setzt \([z\) ist die Projektion der Linie \(AB\) auf die Zylinderachse, \(\boldsymbol\vartheta\) der Winkel zwischen den Ebenen \(z A\) und \(zB\), und der Radius des Zylinders wird = 1 genommen]: \[ \boldsymbol\varPsi(\boldsymbol\vartheta,z)+ z\frac{\partial\boldsymbol\varPsi(\boldsymbol\vartheta,z)}{\partial z}= \int\limits_0^{2\pi}d\alpha\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \boldsymbol\varPsi(\alpha,u) \boldsymbol\varPsi(\boldsymbol\vartheta-\alpha,z-u)du. \tag{4} \] Um aus dieser Gleichung \(\boldsymbol\varPsi\) zu bestimmen, wird eine neue Funktion \(F\) eingeführt: \[ F(\boldsymbol\vartheta,t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \boldsymbol\varPsi(\boldsymbol\vartheta,z) \cos(tz)dz. \tag{8} \] woraus \[ \boldsymbol\varPsi(\boldsymbol\vartheta,z)=\frac1{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(\boldsymbol\vartheta,t)\cos(tz)dt=0. \tag{9} \] folgt, Dadurch geht (4) über in: \[ t\frac{\partial F(\boldsymbol\vartheta,t)}{\partial t}+ \int\limits_0^{2\pi} F(\alpha,t) F(\boldsymbol\vartheta-\alpha,t)d\alpha=0. \tag{12} \] Für \(z=0\), \(\boldsymbol\vartheta=0\), d. h. wenn die Punkte \(A\) und \(B\) zusammenfallen, wird \(\boldsymbol\varPsi\) unendlich groß. Die entsprechende Singularität von \(F\) ergibt sich, wenn man \(F\) nach Potenzen von \(t\) entwickelt: \[ F(\boldsymbol\vartheta,t)= f_0(\boldsymbol\vartheta)+t^2 f_1(\boldsymbol\vartheta)+\cdots+ t^{2p}f_p(\boldsymbol\vartheta)+\cdots. \tag{16} \] Es wird nämlich \[ f_0(\boldsymbol\vartheta)=-\frac1{4\pi\sin^2\dfrac {\boldsymbol\vartheta}2},\qquad (18)\quad f_1(\boldsymbol\vartheta)=-\frac1{4\pi}\log \left(4\sin^2\frac{\boldsymbol\vartheta}2\right)+ \boldsymbol\varphi_1(\boldsymbol\vartheta), \tag{15} \] wo \(\boldsymbol\varphi_1\) endlich ist für \(\boldsymbol\vartheta=0\). Die übrigen Koeffizienten bleiben für \(\vartheta=0\) sämtlich endlich. Weiter wird gezeigt, daß sich die Funktion \(F(\boldsymbol\vartheta,t)-f_0(\boldsymbol\vartheta)\) in eine \textit{Fourier}sche Reihe entwickeln läßt: \[ F(\boldsymbol\vartheta,t)-f_0(\boldsymbol\vartheta)=\frac1\pi \left\{\tfrac12 h_0(t)+\sum_1^\infty[h_n(t)-n] \cos(n\boldsymbol\vartheta)\right\}. \tag{26} \] Die Koeffizienten \(h_n(t)\) sind ganze Funktionen von \(t\), die der \textit{Riccati}schen Gleichung \[ th_n'(t)+h^2_n(t)=n^2+t^2 \tag{33} \] genügen; und zwar ist \(h_n(t)\) das Integral dieser Gleichung, das für \(t=0\) den Wert \(n\) annimmt. Durch die Formeln (33), (26), (9) ist \(\boldsymbol\varPsi(\boldsymbol\vartheta,z)\), d. h. der Wert von \(\boldsymbol\varPsi_B^A\), für den Fall bestimmt, daß \(A\), \(B\) auf der Oberfläche des Zylinders liegen. Für Punkte \(A\) im Innern des Zylinders (während \(B\) auf der Oberfläche bleibt) erhält man mittelst des \textit{Green}schen Satzes \[ \frac{dg_B^A}{dn_b}=\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \boldsymbol\varPsi(\boldsymbol\vartheta-\alpha,z-u)\frac1R du, \] wo \[ R = 1 + r^2 - 2r \cos \alpha + u^2 \] ist; \(r<1\) ist der Abstand des Punktes A von der Achse. Zum Schluß werden aus den beiden Gleichungen, denen \(\boldsymbol\varPsi\) neben der Gleichung (4) genügt, einige Folgerungen gezogen. Im zweiten Teil der Arbeit werden die analogen Untersuchungen auf die \textit{zweite Green}sche Funktion \(G_B^A\) ausgedehnt (über deren Definition vgl. das vorhergehende Referat). Hier ist an Stelle von \(G\) die Hülfsfunktion \[ \boldsymbol\varPsi_B^A=\frac1{8\pi}\varDelta_A\varDelta_B G_B^A \] zu betrachten. Neben der obigen Funktion \(F(\boldsymbol\vartheta, t)\) treten hier noch zwei andere auf, \(F^{(1)}(\boldsymbol\vartheta,t)\) und \(F^{(2)}(\boldsymbol\vartheta,t)\), die in derselben Weise mit \(\dfrac{d\boldsymbol\varPsi^A_B}{dn_A}\), resp. \(\dfrac{d^2\boldsymbol\varPsi_B^A}{dn_adn_B}\) zusammenhängen wie \(F\) mit \(\boldsymbol\varPsi\). An die Stelle der \textit{Riccati}schen Gleichung tritt ein System von drei Gleichungen erster Ordnung, aber dritten Grades.