Zur Theorie des logarithmischen Potentials. Aufsatz XI: Fortsetzung des Aufsatzes X. (Q1480800)

Als das Hauptziel seiner Untersuchungen, über deren Anfang in den letzten drei Bänden des Jahrbuchs berichtet ist, bezeichnet \textit{C. Neumann} die Lösung folgender Aufgaben über \textit{Fourier}sche Reihen: Es sind die Konstanten \(A_n\), \(B_n\) so zu bestimmen, daß auf dem von \(\varphi=-\alpha\) bis \(\varphi=+\alpha\) reichenden Bogen \(s\) eines Kreises: \[ A_0+\sum_{1}^{\infty}(A_n\cos n\varphi+B_n\sin n\varphi)=f(\varphi), \tag{1} \] dagegen auf dem Bogen \(t\), der \(s\) zu einem Vollkreise ergänzt: \[ \sum_{1}^{\infty}n(A_n\cos n\varphi+B_n\sin n\varphi)=0 \tag{2} \] wird. Dabei sind die Punkte \(\varphi=-\alpha\) und \(\varphi=+\alpha\) zum Bogen \(s\) zu rechnen. Das Resultat ist folgendes. Es bezeichne \(\mathfrak L_n\) den Koeffizienten von \(q^n\) bei der Entwicklung von \(\sqrt{1-2q\cos\alpha+q^2}\) nach steigenden Potenzen von \(q\) (\(<1\)). Ferner sei: \[ \varPhi=\frac1{\pi\sqrt{2(\cos\varphi-\cos\alpha)}}. \] Man bilde die Hülfsfunktionen: \[ \begin{aligned} \mathfrak A_0(\varphi)&=\varPhi\cdot\mathfrak L_0\cos\dfrac\varphi2,\\ \mathfrak A_1(\varphi)&=\varPhi\cdot\left( \mathfrak L_1\cos\dfrac\varphi2+\mathfrak L_0\cos\dfrac{3\varphi}2\right),\\ \mathfrak A_2(\varphi)&=\varPhi\cdot\left(\mathfrak L_2\cos\dfrac\varphi2+ \mathfrak L_1\cos\dfrac{3\varphi}2+\mathfrak L_0\cos\dfrac{5\varphi}2\right),\\ &\hdots \end{aligned} \] und ebenso die Hülfsfunktionen \(\mathfrak B_1, \mathfrak B_2,\dots\), in denen sinus an Stelle von cosinus steht. Dann ist für jedes \(n\) \[ A_n=\int_{-\alpha}^{+\alpha} \mathfrak A_n(\varphi)f(\varphi)\,d\varphi,\quad B_n=\int_{-\alpha}^{+\alpha} \mathfrak B_n(\varphi)f(\varphi)\,d\varphi. \] Für den Fall \(\alpha=\pi\) gehen die Formeln in die bekannten Formeln der \textit{Fourier}schen Reihen über. Für beliebige \(\alpha\) werden speziell folgende Sätze aufgestellt: I. Die Gleichungen (1), (2) gelten insbesondere für gerade Funktionen \(f(\varphi)\), für die die Koeffizienten \(\mathfrak B_n\), \(B_n\) verschwinden. Hier sind die in Rede stehenden Reihen gleichmäßig konvergent, die erste auf der ganzen Kreisperipherie, die zweite auf dem Bogen \(t\), falls \(f(\varphi)\) auf \(s\) stetig und ableitungsweise monoton ist. II. Weiß man umgekehrt, daß eine Reihe von der Form (1) in allen Punkten der Kreisperipherie gleichmäßig konvergiert, und daß sie überdies in allen Punkten des Bogens \(s\) verschwindet; daß ferner die Reihe (2) auf dem Bogen \(t\) gleichmäßig konvergiert und auf diesem Bogen überall gleich Null ist, so folgt daraus, daß die Konstanten \(A_n\), \(B_n\) sämtlich gleich Null sind. Der Nachweis der Sätze erfordert recht umständliche Betrachtungen, auf deren Einzelheiten hier nicht eingegangen werden kann. Was den Gang der Untersuchung betrifft, so bildet den Ausgangspunkt der in einem der früheren Aufsätze (s. F. d. M. 41, 859 (JFM 41.0859.*), 1910) gefundene Ausdruck für die einem gegebenen Punkte \(p\) entsprechende induzierte Belegung \(y_s^{(p)}\) des Kreisbogens \(s\). In jener früheren Arbeit war \(y_s^{(p)}\) mittels dipolarer Koordinaten ausgedrückt. Diese werden hier durch Polarkoordinaten mit dem Kreismittelpunkte als Pol ersetzt, und es wird der sich so ergebende Ausdruck in eine Reihe entwickelt. So ergibt sich, wenn \(\varrho\), \(\varphi\) die Koordinaten des Punktes \(p\) und \(R\), \(\psi\) die eines Punktes des Bogens \(s\) sind: \[ y_s^{(p)}=\frac1R\left\{\mathfrak A_0(\psi)+\sum_{1}^{\infty} \left(\frac\varrho R\right)^n [\mathfrak A_n(\psi)\cos(n\varphi)+\mathfrak B_n(\psi)\sin(n\varphi]\right\}. \] Ferner wird die zugehörige Fundamentalfunktion \[ F=\int f_sy_s^{(p)}\,ds=A_0+\sum_{1}^{\infty} \left(\frac\varrho R\right)^n[A_n\cos(n\varphi)+B_n\sin(n\varphi)]. \] In beiden Formeln ist \(\varrho<R\) angenommen; für \(\varrho>R\) tritt nur \(R/\varrho\) an Stelle von \(\varrho/R\). Die Konstanten \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\), \(A\), \(B\) haben die oben angegebene Bedeutung. Die Diskussion dieser Ausdrücke ergibt die an die Spitze gestellten Sätze, wobei zu bemerken ist, daß Satz II vollständig bewiesen wird, Satz I dagegen, soweit er den Bogen \(t\) betrifft, nur in einem speziellen Falle. Wesentliche Stützpunkte der in Rede stehenden Beweise bilden die folgenden beiden allgemeinen, vom Verf. als Theorem Alpha und Theorem Beta bezeichneten Sätze. \(\alpha\)) Der mit irgendwelchen Konstanten \(A_h\), \(B_h\) behaftete Ausdruck \[ f=A_0+\sum_{1}^{\infty}[A_h\cos(h\varphi)B_h\sin(h\varphi)] \] sei auf der Kreisperipherie vom Radius \(R\) gleichmäßig konvergent; ferner sei \[ \begin{aligned} F_i&=A_0+\sum_{h=1}^{\infty}\left(\frac\varrho R\right)^h [A_h\cos(h\varphi)+B_h\sin(h\varphi)]\qquad(\varrho<R),\\ F_\alpha&=A_0+\sum_{h=1}^{\infty}\left(\frac R\varrho \right)^h [A_h\cos(h\varphi)+B_h\sin(h\varphi)]\qquad(\varrho>R); \end{aligned} \] dann ist das System \((F_i,f,F_a)\) gleichmäßig konvergent für alle Punkte der ganzen unendlichen Ebene. \(\beta\)) Weiß man von der Reihe \(f\), daß sie gleichmäßig konvergent ist auf dem Bogen \(\varphi_0\leqq\varphi\leqq\varphi_1\) des Kreises \(R\), so ist das System \((F_i,f,F_a)\) gleichmäßig konvergent in der ganzen Winkelfläche: \[ 0\leqq\varrho\leqq\infty,\quad\varphi_0\leqq\varphi\leqq\varphi_1. \] Ein Abschnitt des Aufsatzes XI enthält Erörterungen über \textit{Fourier}sche Entwicklungen, deren konstante Koeffizienten sich durch Kugelfunktionen ausdrücken lassen. Von den Resultaten sei das folgende erwähnt: Die Reihe \[ \sum_{n=1}^{\infty}[P_{n+h}(\cos\alpha)+P_{n-h-1}(\cos\alpha)] \cos(n\varphi) \] ist sowohl auf dem von \(\varphi=-\alpha\) bis \(\varphi=+\alpha\) a reichenden Bogen \(s\), wie auf dem \(s\) zu einem Vollkreise ergänzenden Bogen \(t\) gleichmäßig konvergent. Ihr Wert ist auf dem Bogen \(s\): \[ -P_h\cos(\alpha)+2\frac{\cos(h+\frac12)\varphi}{\sqrt{2(\cos\varphi-\cos\alpha)}}, \] auf dem Bogen \(t\) dagegen: \[ - P_h (\cos \alpha). \] \(h\) ist dabei irgend eine positive oder negative ganze Zahl oder auch 0, und die Kugelfunktionen mit negativem Index haben die Bedeutung \[ P_{-n}(\cos \alpha)=P_{n-1} (\cos \alpha). \]