Über die Abhängigkeit der Eigenschwingungen einer Membran von deren Begrenzung. (Q1480991)

Es sei \(I\) ein beliebiges, im Endlichen gelegenes Gebiet einer auf die kartesischen Koordinaten \(x, y\) bezogenen Ebene; unter den Eigenwerten \(\lambda_1 \leqq \lambda_2 \leqq \lambda_3 \leqq \cdots\) versteht man bekanntlich diejenigen Werte von \(\lambda\), für welche die Schwingungsgleichung \[ \varDelta u + \lambda u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \lambda u = 0 \tag{1} \] eine Lösung \(u\) besitzt, die am Rande des Gebietes \(I\) verschwindet. Über die Abhängigkeit des kleinsten Eigenwertes \(\lambda_1\) von \(I\) hat \textit{H. A. Schwarz} 1885 den Satz bewiesen, daß, falls \(I_1\) ganz in \(I\) liegt, \(\lambda_1(I_1) \geqq \lambda_1(I)\) ist. Diesen Satz verallgemeinert der Verf. dadurch, daß er an Stelle des einen in \(I\) gelegenen Gebietes \(I_1\) eine beliebige Menge solcher Gebiete treten läßt. Das so verallgemeinerte Theorem lautet: Ist \(I\) ein beliebiges, im Endlichen gelegenes Gebiet, und sind \(I_1, I_2, \dots\) endlich- oder unendlich viele in \(I\) gelegene Gebiete, von denen je zwei keinen (inneren) Punkt gemein haben, so liegen unterhalb einer beliebigen Grenze mindestens ebensoviele Eigenwerte von \(I\) wie von \(I_1, I_2, \dots\) zusammengenommen.