The algebra of \textit{Abu Kamil Shoja' ben Aslam}. (Q1481776)

Daß\ der hervorragende arabische Mathematiker \textit{Abu Kamil Schodja ben Aslam} (10. Jahrh.) eine Algebra verfaßte, und daß\ das Pariser Ms. 7377 A eine lateinische Übersetzung derselben enthält, war schon längst bekannt, und vor einigen Jahren wies auch der Ref. anläßlich einer terminologischen Frage auf diese Übersetzung hin (vgl. F. d. M. 38, 57, 1907). Jetzt hat sich \textit{Karpinski} der Mühe unterzogen, die Übersetzung näher zu untersuchen, und teilt die Resultate seiner Untersuchung mit. Selbstverständlich werden dadurch unsere Kenntnisse der arabischen Algebra nicht erweitert, aber \textit{Karpinski} weist nach, daß\textit{Leonardo Pisano} aus der Schrift des \textit{Abu Kamil} unmittelbar oder mittelbar geschöpft hat, und der Artikel ist also ein wertvoller Beitrag zu der noch offenen Frage, inwieweit \textit{Leonardo Pisano} als selbständiger mathematischer Verfasser zu betrachten ist. Auch \textit{Al-Karkhi} hat die Algebra von \textit{Abu Kamil} benutzt, aber bei \textit{Leonardo} kommen Sachen vor, die, soweit bekannt, bei \textit{Al-Karkhi} fehlen. In betreff der Darstellung der Algebra schließt sich \textit{Abu Kamil} im großen und ganzen seinem Vorgänger \textit{Alkhwarizmi} an. Bei der Lösung der quadratischen Gleichungen lehrt er nicht nur, wie man die Unbekannte, sondern auch, wie man das Quadrat der Unbekannten \textit{direkt} aus der Gleichung herleiten soll. Beispielsweise kann seine Herleitung, die überall geometrisch ist, für die Gleichung \(x^2+b=ax\) auf folgende Weise analytisch wiedergegeben werden. Aus \(x^2+b=ax\) folgt \((x^2+b)^2=a^2x^2=a^2x^2+a^2b-a^2b=a^2(x^2+b)-a^2b\). Setzt man nun \(x^2+b=y\), so wird \(y^2=a^2y-a^2b\) oder \(y^2+a^2b=a^2y\), und man ist also auf den Fall, in dem die Unbekannte selbst berechnet werden soll, zurückgeführt worden. Man bekommt mithin \[ x^2+b=y=\frac{a^2}2\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}2\right)^2-a^2b} \] also \[ x^2=\frac{a^2}2\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}2\right)^2-a^2b}-b. \]