Über die Integrale des Herrn \textit{Hellinger} und die Orthogonalinvarianten der quadratischen Formen von unendlich vielen Veränderlichen. (Q1481999)

Die vorliegende Arbeit will die von \textit{E. Hellinger} in seiner Dissertation (F. d. M. 38, 153 (JFM 38.0153.*), 1907) entwickelte Theorie der orthogonalen Transformation beschränkter quadratischer Formen neu begründen, ohne die von ihm verwendeten integralartigen Grenzprozesse zu benutzen. An ihre Stelle tritt der \textit{Lebesgue}sche Integralbegriff, und es wird eine Reihe der wesentlichsten Sätze von \textit{Lebesgue} verwendet, so namentlich die über Existenz und Integrierbarkeit der Ableitung einer monotonen Funktion und über die Bedingungen, unter denen \(f(x) - f(x_0) =\displaystyle\int\limits_{x_0}{\vphantom{\int}}^{x}f'(x)\,dx\) ist. Es ist hier nicht der Ort, zu diskutieren, ob durch \textit{Hahn}s Entwicklungen die Behauptung \textit{Hellinger}s: ``Bei Einführung der \textit{Lebesgue}schen Definitionen scheinen mir daher kompliziertere Betrachtungen notwendig zu werden, als sie bei konsequenter Benutzung der hier gegebenen Neudefinitionen erforderlich sind'' (Dissertation, S. 29 unten), bestätigt oder widerlegt wird; -jedenfalls zeigt dieses Zitat im Gegensatz zu einer Äußerung von \textit{Hahn} am Eingänge seiner Arbeit, daß auch \textit{Hellinger} keineswegs an der Ersetzbarkeit seiner Grenzwerte durch \textit{Lebesgue}sche Integrale gezweifelt hat. Im einzelnen geht nun \textit{Hahn} so vor, daß er nach Zusammenfassung einer Reihe von Hülfssätzen über \textit{Lebesgue}sche Integrale (\S~1) das von \textit{Hellinger} eingeführte Integral \(\displaystyle\int\dfrac{df(x)^2}{dg(x)}\) umformt (\S~2), indem er \(g = g(x)\) zur neuen unabhängigen Veränderlichen macht; wird dadurch \(f (x) =F(g)\), so ist jenes Integral gleich \(\int (F' (g))^2 dg\) im \textit{Lebesgue}schen Sinne. Ähnliches gilt von den weiteren von \textit{Hellinger} benutzten Integralen, und seine diesbezüglichen Sätze ordnen sich natürlich den Sätzen über \textit{Lebesgue}sche Integrale des \S~1 ein. Ein Exkurs (\S~3) führt den von \textit{Hellinger} (Dissertation, Anhang, S. 82) angedeuteten Beweis des \textit{Fischer-Riesz}schen Satzes aus. In der Folge werden die \textit{Hellinger}schen Sätze über orthogonale Differentialformen mit Hülfe \textit{Lebesgue}scher Integrale ausgesprochen oder bewiesen (\S~4) und auf die Frage der orthogonalen Äquivalenz beschränkter quadratischer Formen angewandt (\S~5); dabei tritt an Stelle der \textit{Hellinger}schen Normalform -- um nur vom Streckenspektrum zu reden - \[ \displaylines{\rlap{\indent(1)}\hfill \sum\limits_{(\alpha)}\int\limits_{a}{\vphantom{\int}}^{b}\lambda \frac{(d\varrho^{(\alpha)}(\lambda;x))^2}{d\varrho_0^{(\alpha)}}, \text{ wo } \varrho^{(\alpha)}(\lambda;x)= \sum\limits_{p=1}^{\infty}\varrho_p^{(\alpha)}(\lambda)x_p \hfill} \] die aus \textit{Lebesgue}schen Integralen aufgebaute Form \[ \displaylines{\hss(2) \sum\limits_{(\alpha)}\int\limits_{0}{\vphantom{\int}}^{\varrho_0^{(\alpha)}(b)}\lambda \left(\frac{d\varrho^(\alpha)}{d\varrho_0^{(\alpha)}}\right)^2\,d\varrho_0^{(\alpha)}; \varrho^{(\alpha)}=\varrho^{(\alpha)}(\lambda;x)=\text{Funktion von}= \varrho_0^{(\alpha)}=\varrho_0^{(\alpha)}(\lambda).} \] Neu gegenüber \textit{Hellinger} ist der hier von \textit{Hahn} eingeführte Begriff des \textit{geordneten Systems} von Eigendifferentialformen \(\varrho^{(\alpha)}(\lambda;x)\); ein solches liegt vor, wenn vermöge der Gleichungen \(\varrho_0^{(\alpha)}=\varrho_0^{(\alpha)}(\lambda)\), \(\varrho_0^{(\beta)}=\varrho_0^{(\beta)}(\lambda)\) für \(\beta>\alpha\) allemal einer Nullmenge der \(\varrho_0^{(\alpha)}\)-Achse eine Nullmenge der \(\varrho_0^{(\beta)}\)-Achse zugeordnet ist, d. h., kurz gesagt, wenn in jedem Summanden von (2) soviel von dem gesamten Streckenspektrum auf Kosten aller folgenden hineingezogen ist, als irgend möglich. Dieser Begriff erlaubt es, das Streckenspektrum in abzählbar unendlich viele \textit{perfekte} Punktmengen zu zerlegen, die mitsamt der Vielfachheit, in der sie die \(\lambda\)-Achse überdecken, bei orthogonalen Transformationen invariant sind; zur hinreichenden Bedingung für orthogonale Äquivalenz wird die Übereinstimmung dieser Spektra ergänzt durch doppelt soviele Gleichungen, als die höchste auftretende Vielfachheit beträgt, nämlich durch Relationen zwischen den zugehörigen Basisfunktionen \(\varrho_0^{(\alpha)}(\lambda)\) (S. 216, 224). Diese Formulierung ist wohl eleganter, sachlich jedoch genau identisch mit dem von \textit{Hellinger} angegebenen notwendigen und hinreichenden Kriterium für orthogonale Äquivalenz (Dissertation, S. 80), was entgegen den leicht mißzuverstehenden Ausführungen in \textit{Hahn}s Einleitung hier zu bemerken erlaubt sei. Zum Vergleich beider Formulierungen diene der Hinweis, daß das \textit{samt Vielfachheit invariante} ``eigentliche Spektrum'' bei \textit{Hellinger} aus allgemeinen meßbaren, nicht notwendig perfekten Punktmengen besteht, das nur bei ``regulären'' Formen auf der \(\lambda\)-Achse, sonst aber im Wertbereich der Basisfunktionen \(\varrho_0^{(\alpha)}(\lambda)\) ausgebreitet zu denken ist (vgl. Dissertation, Satz VII, S. 74; Satz VIII, S. 80); nicht invariant ist die Ableitung dieses Spektrums, das ``Spektrum im weiteren Sinne'' (nur das besagt ausdrücklich die in \textit{Hahn}s Einleitung zitierte Bemerkung \textit{Hellingers}, Diss., S. 74), und dieses erhält erst, wenn man zu \textit{Hahn}s ``geordneten'' Systemen von Eigendifferentialformen übergeht, gleichfalls invarianten Charakter.