Notes on some points in the integral calculus. XXXV. On an integral equation. (Q1482022)

\S\S~1-3. In einer jüngst veröffentlichten Note (Referat S. 427) gibt \textit{Bateman} eine Formel für die Lösung der Gleichung: \[ \displaylines{\rlap{\indent(1)}\hfill f(x)=\frac1\pi\displaystyle\int\limits_{0}{\vphantom{\int}}^{\infty} \tfrac12\ln\left(\frac{t+x}{t-x}\right)^2\varphi(t)\,dt\qquad(x>0), \hfill} \] nämlich \[ \varphi(x)=\displaystyle\int\limits_{0}{\vphantom{\int}}^{\infty}\sin xt\,\chi(t)\,dt, \] wo \(\chi(t)\) aus der Gleichung bestimmt wird: \[ f(x)=\displaystyle\int\limits_{0}{\vphantom{\int}}^{\infty}\frac{\sin xt}t\,\chi(t)\,dt. \] ``Die Lösung hat den offensichtlichen Nachteil, daß sie die vorgängige Lösung einer anderen Integralgleichung erfordert. Eine wirksamere Lösung kann aus Ergebnissen abgeleitet werden, die ich anderswo veröffentlicht habe'' (Lond. M. S. Proc. (2) 7, 181-208; F. d. M. 40, 339 (JFM 40.0339.*), 1909). \S~4. ``Auf S. 180 derselben Note hat \textit{Bateman} Gelegenheit, die Frage der Umkehrung der Integrationsfolge in dem Integral \[ \displaylines{\rlap{\indent(4)}\hfill \displaystyle\int\limits_{0}{\vphantom{\int}}^{\infty}\frac{1-J_0(x)}x\,dx \displaystyle\int\limits_{x}{\vphantom{\int}}^{\infty}\frac{\sin \lambda x} {\sqrt{\lambda^2-z^2}}\,d\lambda \hfill} \] zu erörtern. Er sagt dabei ganz richtig, daß die Sätze, welche ich in der Note XXXIII gebe, diesen Fall nicht decken'' (F. d. M. 42, 321 (JFM 42.0321.*), 1911). -- Es wird gezeigt, durch welche leichte Änderung eines Satzes dies doch möglich ist. \S~5. Einfacher und leichter Beweis der \textit{Bateman}schen Formel (\(0<z<1\)): \[ \displaystyle\int\limits_{z}{\vphantom{\int}}^{1} \frac{\operatorname{arc\,}\cos x}{\sqrt{x^2-z^2}}\,dx= \displaystyle\int\limits_{1}{\vphantom{\int}}^{1/z} \frac{\arg\cosh x}{\sqrt{(1/z)^2-x^2}}\,dx=-\tfrac12\pi\ln z. \]