Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung). (Q1482040)

Von der Überzeugung ausgehend, daß so allgemeine Methoden wie die Theorie der Integralgleichungen, wenn man sie auf die mathematische Physik anwendet, ihre eigentliche Kraft nicht in der Lösung konkreter Einzelprobleme entfalten können, sondern vor allem dazu dienen müssen, die einem großen Komplex von Erscheinungen gemeinsamen Züge ausfindig zu machen, hat sich der Verf. die Aufgabe gestellt, folgende These zu begründen: Schwingungsvorgänge, deren Gesetzmäßigkeit sich in einer linearen Differentialgleichung vom Typus der gewöhnlichen Schwingungsgleichung ausspricht, besitzen, unabhängig von der geometrischen Gestalt und physikalischen Beschaffenheit der Medien, in denen sie sich abspielen, im Gebiete der hohen Schwingungszahlen alle wesentlich ein und dasselbe Spektrum. Um ein präzises Beispiel zu geben: Die zu der Randbedingung \(u=0\) in einem beliebig gestalteten Raumstück \(J\) vom Volumen \(J\) gehörigen Eigenwerte \(\lambda=\lambda_n\) der Schwingungsgleichung \(\varDelta u+\lambda u=0\) erfüllen, der Größe nach geordnet, die Beziehung \(\lambda_n^3\thicksim\left(\dfrac{6\pi^2n}J\right)^2\) -- in dem Sinne, daß der Quotient der rechten und linken Seite mit unbegrenzt wachsendem \(n\) gegen 1 konvergiert. Außer der Randbedingung \(u = 0\) wird vor allem diejenige studiert, welche dem Problem der elektromagnetischen Schwingungen in einem Hohlraum entspricht; in diesem Falle handelt es sich übrigens nicht um ein skalares, sondern ein vektorielles Feld \(u\), die unbekannte Amplitude der elektrischen Feldstärke bei einer stehenden Schwingung. Es wird hier der entsprechende Satz bewiesen und damit ein Resultat gewonnen, das für die Begründung der modernen Strahlungstheorie von hoher Wichtigkeit ist. Der Fall eines inhomogenen Mediums (mathematisch gesprochen: der allgemeinen sich selbst adjungierten linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche den Spektrumsparameter \(\lambda\) linear enthält) wird gleichfalls erledigt. Die Grundlage der Untersuchung bildet eine Reihe sehr einfacher Sätze über Integralgleichungen. Der wichtigste ist dieser: Hat man zwei Kerne \(K'\), \(K''\), deren reziproke positive Eigenwerte (der Größe nach geodnet) \(\varkappa_n'\), \(\varkappa_n^{\prime\prime}\) heißen mögen, so gilt für die reziproken positiven Eigenwerte \(\varkappa\) des Summenkerns \(K = K' + K''\) die Ungleichung \(\varkappa_{m+n-1}\leqq\varkappa_m'+\varkappa_n^{\prime\prime}\). Zu den nächstliegenden Folgerungen dieses Satzes gehört die Aussage, daß die Eigenwerte eines Kernes alle zunehmen, wenn man den Integrationsbereich verkleinert. Bedeutsamer erweist sich, daß man aus jener Ungleichung schließen kann: Addiert man zu einem Kern \(K\) einen andern mit asymptotisch dünnerer Eigenwertverteilung als \(K\), so wird dadurch die Eigenwertverteilung von \(K\) asymptotisch nicht beeinflußt. Mit den gleichen Hülfsmitteln wird bewiesen, daß im eindimensionalen Fall die Eigenwerte eines stetig differenzierbaren Kerns stärker wachsen als \(n^{3/2}\), und das Analoge für 2 und 3 Dimensionen. Der Grundgedanke des Beweises läßt sich nun so angeben: Die \textit{Green}sche Funktion \(G\) eines Körpers \(J\) (die \(=0\) gesetzt werde, wenn Quellpunkt oder Aufpunkt außerhalb \(J\) liegt) wird beim Zusammenrücken von Quellund Aufpunkt unendlich wie \(\dfrac1r\); von dieser Singularität allein hängt die asymptotische Eigenwertverteilung ab. Teilt man \(J\) durch eine Wand in zwei Gebiete \(J_1\), \(J_2\) mit den \textit{Green}schen Funktionen \(G_1\), \(G_2\), so kommt in \(G - (G_1 + G_2)\) jene Singularität zum Fortfall. Gemäß den oben erwähnten allgemeinen Sätzen über Integralgleichungen schließt man daraus, daß man die Eigenwerte von \(G\) asymptotisch richtig bekommt, wenn man die Eigenwerte von \(G_1\) und \(G_2\) zusammen in eine einzige Reihe ordnet. Statt \(J\) in zwei Gebiete \(J_1\), \(J_2\) zu teilen, denkt man sich den Hohlraum jetzt aus kleinen Würfeln aufgebaut, zwischen denen man die trennenden Wände einreißt. Da die Eigenwerte eines Würfels explizit bekannt sind, kommt man dann durch Exhaustion zum Ziel.