Leçons sur l'intégration des équations différentielles aux dérivées partielles. (Q1482043)

In den ersten Kapiteln der vorliegenden Stockholmer Vorlesungen will Volterra an einigen Beispielen zeigen, welche bedeutsame Rolle gewisse mehrdeutige Lösungen bei verschiedenen Typen von Differentialgleichungen spielen. Er behandelt zu dem Zwecke die mehrdeutigen Lösungen, die beim elastischen Gleichgewicht auftreten. Der Fall des Gleichgewichts elastischer mehrfach zusammenhängender Körper, die keinen äußeren Kräften unterworfen sind, hängt mit den mehrdeutigen Lösungen auf das engste zusammen und gibt zu neuen Problemen in der Elastizitätstheorie Veranlassung. Die Funktionentheorie spielt eine bedeutsame Rolle bei den Problemen der mathematischen Physik, die zur Laplaceschen Gleichung mit zwei unabhängigen Variablen führen. Man ist aber dabei auf zwei Dimensionen beschränkt. Volterra zeigt, wie seine grundlegenden Arbeiten über Linienfunktionen ein Hülfsmittel geben, die Theorie der konjugierten Funktionen zu verallgemeinern. Er zeigt in den folgenden Kapiteln, wie sich in natürlicher Weise die Notwendigkeit herausstellt, nicht nur Funktionen zu betrachten, die von einer gewissen Anzahl von Variablen abhängen, sondern daß es nötig wird, auch solche zu betrachten, die von der Form gewisser Linien und Flächen abhängen, und entwickelt einen Abriß der Theorie dieser Funktionen. Beim hyperbolischen Typus werden zunächst frühere Resultate des Verf., die neuerdings durch andere Autoren vervollständigt worden sind, gegeben, und dann wird gezeigt, wie die Methode der Abbildungen von Lord Kelvin auch für Gleichungen dieses Typus nutzbar gemacht werden kann, ja sogar viel einfachere Resultate als beim elliptischen Typus zu liefern vermag. Der Einfluß der Realität der Charakteristiken tritt dabei in überraschender Weise zutage. Die Weierstraßsche Methode zur Integration von linearen hyperbolischen Gleichungen, die bisher isoliert dastand, wird vom Vortragenden mit der Kirchhoffschen Methode in Zusammenhang gebracht. Die letzten Vorlesungen sind dem parabolischen Typus gewidmet. Die bei den anderen Typen so fruchtbare Methode der Charakteristiken scheint hier zunächst nicht so umfassend zu wirken. Verf. zeigt, wo die Schwierigkeit zu suchen ist. Um mit Erfolg die Untersuchung des parabolischen Typus fördern zu können, muß man damit anfangen, die Methode der komplexen Variablen zu erweitern. Als Anwendung der Formeln des parabolischen Typus wird die Lösung eines Problems, das sich auf die Schwingungen inkompressibler Flüssigkeiten bezieht, auseinandergesetzt; allgemeine Betrachtungen über den Gegenstand zeigen einerseits einen Zusammenhang mit den Gleichungen vom elliptischen Typus, andererseits mit denen vom hyperbolischen Typus, die den Ausdruck für das Wellenproblem darstellen. Zu dem Zwecke wird eine der gewöhnlichen Greenschen Formel analoge Formel entwickelt.